Номер 130, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. Точка $M$ равноудалена от вершин правильного треугольника $ABC$. Угол между прямой $MA$ и плоскостью $ABC$ равен $\alpha$. Найдите угол между плоскостями $MAB$ и $ABC$.

Пусть $O$ — проекция точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Поскольку точка $M$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$ ($MA = MB = MC$), то её проекция $O$ является центром описанной окружности треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ — правильный, его центр $O$ является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис.

Угол между прямой $MA$ и плоскостью $ABC$ — это угол между прямой $MA$ и её проекцией $OA$ на эту плоскость. Таким образом, $\angle MAO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOA$ (угол $\angle MOA = 90^\circ$, так как $MO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$). Из этого треугольника находим высоту $MO$:
$ \tan(\alpha) = \frac{MO}{OA} \implies MO = OA \cdot \tan(\alpha) $

Угол между плоскостями $MAB$ и $ABC$ — это двугранный угол при ребре $AB$. Для его измерения построим линейный угол. Проведём в плоскости $ABC$ отрезок $OH$, где $H$ — середина стороны $AB$. Так как $\triangle ABC$ правильный, а $O$ — его центр, то медиана $CH$ является и высотой, и $O$ лежит на $CH$. Следовательно, $OH \perp AB$.

В плоскости $MAB$ проведём отрезок $MH$. Так как $\triangle MAB$ равнобедренный ($MA=MB$), его медиана $MH$ является и высотой. Следовательно, $MH \perp AB$.

Таким образом, угол $\angle MHO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $MAB$ и $ABC$. Обозначим этот угол как $\beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHO$ (угол $\angle MOH = 90^\circ$, так как $MO \perp$ плоскости $ABC$). В нём:$ \tan(\beta) = \frac{MO}{OH} $

Для правильного треугольника $ABC$ отрезок $OA$ является радиусом описанной окружности ($R$), а отрезок $OH$ — радиусом вписанной окружности ($r$). Известно, что для правильного треугольника $R = 2r$, то есть $OA = 2 \cdot OH$.

Подставим известные соотношения в формулу для $\tan(\beta)$:$ \tan(\beta) = \frac{MO}{OH} = \frac{OA \cdot \tan(\alpha)}{OH} = \frac{(2 \cdot OH) \cdot \tan(\alpha)}{OH} = 2 \tan(\alpha) $

Отсюда искомый угол $\beta$ равен:$ \beta = \arctan(2 \tan(\alpha)) $

Ответ: $ \arctan(2 \tan(\alpha)) $