Номер 124, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Угол между плоскостями треугольников $ABC$ и $ABD$ равен $60^{\circ}$, $AC = BC = 20$ см, $AB = 24$ см, $AD = BD$, $\angle ADB = 90^{\circ}$. Найдите отрезок $CD$.

1. Построение и анализ треугольника ABC.
Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AC = BC = 20$ см. Проведем из вершины $C$ высоту $CM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $M$ — середина отрезка $AB$.
Найдем длину отрезка $AM$:
$AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$ (где $\angle AMC = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем высоту $CM$:
$CM^2 = AC^2 - AM^2$
$CM^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$
$CM = \sqrt{256} = 16$ см.

2. Построение и анализ треугольника ABD.
Треугольник $ABD$ является равнобедренным ($AD = BD$) и прямоугольным ($\angle ADB = 90^\circ$). Проведем из вершины $D$ медиану $DM$ к гипотенузе $AB$. Так как треугольник равнобедренный, медиана $DM$ также является высотой, то есть $DM \perp AB$.
По свойству медианы, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, ее длина равна половине длины гипотенузы.
$DM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.

3. Нахождение длины отрезка CD.
Угол между плоскостями треугольников $ABC$ и $ABD$ — это двугранный угол с ребром $AB$. Мы построили два отрезка, $CM$ и $DM$, которые перпендикулярны ребру $AB$ и исходят из одной точки $M$ на этом ребре. Следовательно, угол между этими отрезками, $\angle CMD$, является линейным углом данного двугранного угла.
По условию, угол между плоскостями равен $60^\circ$, значит, $\angle CMD = 60^\circ$.
Теперь рассмотрим треугольник $CMD$. Мы знаем длины двух его сторон ($CM = 16$ см, $DM = 12$ см) и угол между ними ($\angle CMD = 60^\circ$). Чтобы найти длину третьей стороны $CD$, воспользуемся теоремой косинусов:
$CD^2 = CM^2 + DM^2 - 2 \cdot CM \cdot DM \cdot \cos(\angle CMD)$
Подставим известные значения:
$CD^2 = 16^2 + 12^2 - 2 \cdot 16 \cdot 12 \cdot \cos(60^\circ)$
Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получим:
$CD^2 = 256 + 144 - 2 \cdot 16 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}$
$CD^2 = 400 - 16 \cdot 12$
$CD^2 = 400 - 192$
$CD^2 = 208$
$CD = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$ см.
Ответ: $4\sqrt{13}$ см.