Номер 121, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Из точек $C$ и $D$, лежащих в разных гранях двугранного угла, величина которого равна $45^\circ$, проведены к его ребру перпендикуляры $DA$ и $CB$. Найдите отрезок $DC$, если $AB = 3$ см, $AD = 6\sqrt{2}$ см, $BC = 8$ см.

Пусть дан двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $m$. Величина этого угла равна $45^\circ$.
В грани $\alpha$ лежит точка $D$, а в грани $\beta$ — точка $C$.
Из этих точек проведены перпендикуляры к ребру $m$: $DA \perp m$ (где $A \in m$) и $CB \perp m$ (где $B \in m$).
По условию задачи нам даны длины этих отрезков и расстояние между их основаниями на ребре:

• $AD = 6\sqrt{2}$ см
• $BC = 8$ см
• $AB = 3$ см

Нам нужно найти длину отрезка $DC$.
Для решения задачи используем метод проекций. Опустим из точки $C$ перпендикуляр $CK$ на плоскость $\alpha$.

1. По определению, $CK$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $\alpha$. Следовательно, треугольник $\triangle DCK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$ ($\angle CKD = 90^\circ$). По теореме Пифагора, квадрат длины отрезка $DC$ можно найти как:$DC^2 = CK^2 + DK^2$

2. Теперь найдем длины $CK$ и $DK$.
Соединим точки $K$ и $B$. Отрезок $CB$ является наклонной к плоскости $\alpha$, $CK$ — перпендикуляром, а $KB$ — проекцией наклонной $CB$ на плоскость $\alpha$.
По условию, $CB \perp m$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой на плоскости, то и ее проекция перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $KB \perp m$.
Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя перпендикулярами к ребру, проведенными в гранях из одной точки. В нашем случае отрезки $CB$ и $KB$ лежат в плоскости, перпендикулярной ребру $m$ в точке $B$. Угол $\angle CBK$ и есть линейный угол двугранного угла, то есть $\angle CBK = 45^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CKB$ (по построению $\angle CKB = 90^\circ$):

• $CK = BC \cdot \sin(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
• $BK = BC \cdot \cos(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

3. Теперь найдем длину отрезка $DK$.
Точки $A$, $B$, $D$ и $K$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Из условия мы знаем, что $DA \perp m$ и из пункта 2 мы выяснили, что $KB \perp m$. Так как две прямые ($DA$ и $KB$) перпендикулярны третьей ($m$), они параллельны друг другу ($DA \parallel KB$).
Таким образом, четырехугольник $ADKB$ является прямоугольной трапецией с основаниями $AD$ и $KB$ и высотой $AB$.
Чтобы найти длину боковой стороны $DK$, проведем в трапеции высоту $KH_1$ из точки $K$ на прямую, содержащую $AD$. Фигура $ABKH_1$ будет прямоугольником, поэтому $KH_1 = AB = 3$ см и $AH_1 = BK = 4\sqrt{2}$ см.
Длина отрезка $DH_1$ будет равна разности длин оснований:$DH_1 = |AD - AH_1| = |6\sqrt{2} - 4\sqrt{2}| = 2\sqrt{2}$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DKH_1$ ($\angle DH_1K = 90^\circ$). По теореме Пифагора:$DK^2 = DH_1^2 + KH_1^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 = (4 \cdot 2) + 9 = 8 + 9 = 17$.

4. Вернемся к первому шагу и найдем $DC$.
Мы нашли, что $CK^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$ и $DK^2 = 17$.
Подставим эти значения в формулу для $DC^2$:$DC^2 = CK^2 + DK^2 = 32 + 17 = 49$.
Отсюда, $DC = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.