Страница 81 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. В гранях двугранного угла проведены прямые $b$ и $c$, параллельные его ребру, на расстоянии $2\sqrt{2}$ см и $4$ см от него соответственно. Найдите величину этого двугранного угла, если расстояние между прямыми $b$ и $c$ равно $2\sqrt{10}$ см.

Пусть дан двугранный угол с ребром $a$. В его гранях, плоскостях $\pi_1$ и $\pi_2$, проведены прямые $b$ и $c$ соответственно, причем $b \parallel a$ и $c \parallel a$.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Для построения линейного угла выберем на ребре $a$ произвольную точку $O$ и проведем через нее плоскость $\gamma$, перпендикулярную ребру $a$.

Эта плоскость пересечет грани $\pi_1$ и $\pi_2$ по лучам $OB$ и $OC$, где $B$ — точка на прямой $b$, а $C$ — точка на прямой $c$. Угол $\angle BOC$ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим его величину как $\alpha$.

Так как плоскость $\gamma$ перпендикулярна ребру $a$, а прямые $b$ и $c$ параллельны $a$, то плоскость $\gamma$ будет перпендикулярна и прямым $b$ и $c$.

Следовательно, отрезок $OB$ является расстоянием от точки $O$ на ребре $a$ до прямой $b$. По условию, это расстояние равно $2\sqrt{2}$ см. Таким образом, $OB = 2\sqrt{2}$ см.

Аналогично, отрезок $OC$ является расстоянием от точки $O$ на ребре $a$ до прямой $c$. По условию, это расстояние равно $4$ см. Таким образом, $OC = 4$ см.

Расстояние между скрещивающимися (в данном случае параллельными) прямыми $b$ и $c$ — это длина их общего перпендикуляра. Поскольку отрезки $OB$ и $OC$ лежат в плоскости $\gamma$, перпендикулярной обеим прямым, то отрезок $BC$, соединяющий их концы, и есть искомое расстояние. По условию, расстояние между прямыми $b$ и $c$ равно $2\sqrt{10}$ см. Таким образом, $BC = 2\sqrt{10}$ см.

Мы получили треугольник $OBC$, в котором известны длины всех трех сторон: $OB = 2\sqrt{2}$ см, $OC = 4$ см, $BC = 2\sqrt{10}$ см. Угол, который нам нужно найти, — это $\angle BOC = \alpha$.

Применим к треугольнику $OBC$ теорему косинусов: $BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения: $(2\sqrt{10})^2 = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 4 \cdot \cos(\alpha)$

Выполним вычисления: $4 \cdot 10 = 4 \cdot 2 + 16 - 16\sqrt{2} \cdot \cos(\alpha)$ $40 = 8 + 16 - 16\sqrt{2} \cdot \cos(\alpha)$ $40 = 24 - 16\sqrt{2} \cdot \cos(\alpha)$

Выразим $\cos(\alpha)$: $40 - 24 = -16\sqrt{2} \cdot \cos(\alpha)$ $16 = -16\sqrt{2} \cdot \cos(\alpha)$ $\cos(\alpha) = \frac{16}{-16\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Из полученного значения косинуса находим величину угла $\alpha$. Так как величина двугранного угла находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$, то углу с косинусом, равным $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствует значение $\alpha = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

120. Величина двугранного угла равна $60^\circ$. Плоскость $\beta$ пересекает грани двугранного угла по параллельным прямым, удалённым от ребра двугранного угла на 5 см и на 8 см. Найдите расстояние от ребра двугранного угла до плоскости $\beta$.

Пусть дан двугранный угол с ребром e и гранями α₁ и α₂. Величина этого угла составляет 60°. Плоскость β пересекает грани α₁ и α₂ по параллельным прямым l₁ и l₂ соответственно. Расстояние от ребра e до прямой l₁ равно 5 см, а до прямой l₂ — 8 см. Требуется найти расстояние от ребра e до плоскости β.

Поскольку прямые l₁ и l₂ параллельны и лежат в пересекающихся плоскостях α₁ и α₂, они обе параллельны ребру двугранного угла e.

Для решения задачи рассмотрим сечение двугранного угла плоскостью γ, перпендикулярной ребру e. В этой плоскости сечения ребру e будет соответствовать точка O, а граням α₁ и α₂ — два луча, выходящие из точки O под углом 60° (линейный угол двугранного угла).

Прямые l₁ и l₂ также будут пересечены плоскостью γ в точках A и B соответственно. Расстояние от ребра e до прямой l₁ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую l₁, что в нашем сечении равно длине отрезка OA. Аналогично, расстояние от ребра e до прямой l₂ равно длине отрезка OB.

Таким образом, мы получаем на плоскости γ треугольник OAB, в котором $OA = 5$ см, $OB = 8$ см и $\angle AOB = 60^\circ$.

Плоскость β, проходящая через параллельные прямые l₁ и l₂, в нашем сечении будет представлена прямой AB. Расстояние от ребра e до плоскости β — это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую AB. Обозначим эту высоту треугольника OAB как h.

Для нахождения высоты h воспользуемся методом площадей.

1. Найдем длину стороны AB по теореме косинусов для треугольника OAB:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$
$AB^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$
$AB^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2}$
$AB^2 = 89 - 40 = 49$
$AB = \sqrt{49} = 7$ см

2. Найдем площадь треугольника OAB по формуле с использованием синуса угла между двумя сторонами:
$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB)$
$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ)$
$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ см²

3. Теперь выразим площадь треугольника через сторону AB и высоту h, проведенную к ней:
$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h$
Отсюда найдем высоту h:
$h = \frac{2 \cdot S_{\triangle OAB}}{AB}$
$h = \frac{2 \cdot 10\sqrt{3}}{7} = \frac{20\sqrt{3}}{7}$ см

Таким образом, искомое расстояние от ребра двугранного угла до плоскости β равно высоте h треугольника OAB.

Ответ: $\frac{20\sqrt{3}}{7}$ см.

121. Из точек $C$ и $D$, лежащих в разных гранях двугранного угла, величина которого равна $45^\circ$, проведены к его ребру перпендикуляры $DA$ и $CB$. Найдите отрезок $DC$, если $AB = 3$ см, $AD = 6\sqrt{2}$ см, $BC = 8$ см.

Пусть дан двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $m$. Величина этого угла равна $45^\circ$.
В грани $\alpha$ лежит точка $D$, а в грани $\beta$ — точка $C$.
Из этих точек проведены перпендикуляры к ребру $m$: $DA \perp m$ (где $A \in m$) и $CB \perp m$ (где $B \in m$).
По условию задачи нам даны длины этих отрезков и расстояние между их основаниями на ребре:

• $AD = 6\sqrt{2}$ см
• $BC = 8$ см
• $AB = 3$ см

Нам нужно найти длину отрезка $DC$.
Для решения задачи используем метод проекций. Опустим из точки $C$ перпендикуляр $CK$ на плоскость $\alpha$.

1. По определению, $CK$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $\alpha$. Следовательно, треугольник $\triangle DCK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$ ($\angle CKD = 90^\circ$). По теореме Пифагора, квадрат длины отрезка $DC$ можно найти как:$DC^2 = CK^2 + DK^2$

2. Теперь найдем длины $CK$ и $DK$.
Соединим точки $K$ и $B$. Отрезок $CB$ является наклонной к плоскости $\alpha$, $CK$ — перпендикуляром, а $KB$ — проекцией наклонной $CB$ на плоскость $\alpha$.
По условию, $CB \perp m$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой на плоскости, то и ее проекция перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $KB \perp m$.
Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя перпендикулярами к ребру, проведенными в гранях из одной точки. В нашем случае отрезки $CB$ и $KB$ лежат в плоскости, перпендикулярной ребру $m$ в точке $B$. Угол $\angle CBK$ и есть линейный угол двугранного угла, то есть $\angle CBK = 45^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CKB$ (по построению $\angle CKB = 90^\circ$):

• $CK = BC \cdot \sin(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
• $BK = BC \cdot \cos(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

3. Теперь найдем длину отрезка $DK$.
Точки $A$, $B$, $D$ и $K$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Из условия мы знаем, что $DA \perp m$ и из пункта 2 мы выяснили, что $KB \perp m$. Так как две прямые ($DA$ и $KB$) перпендикулярны третьей ($m$), они параллельны друг другу ($DA \parallel KB$).
Таким образом, четырехугольник $ADKB$ является прямоугольной трапецией с основаниями $AD$ и $KB$ и высотой $AB$.
Чтобы найти длину боковой стороны $DK$, проведем в трапеции высоту $KH_1$ из точки $K$ на прямую, содержащую $AD$. Фигура $ABKH_1$ будет прямоугольником, поэтому $KH_1 = AB = 3$ см и $AH_1 = BK = 4\sqrt{2}$ см.
Длина отрезка $DH_1$ будет равна разности длин оснований:$DH_1 = |AD - AH_1| = |6\sqrt{2} - 4\sqrt{2}| = 2\sqrt{2}$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DKH_1$ ($\angle DH_1K = 90^\circ$). По теореме Пифагора:$DK^2 = DH_1^2 + KH_1^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 = (4 \cdot 2) + 9 = 8 + 9 = 17$.

4. Вернемся к первому шагу и найдем $DC$.
Мы нашли, что $CK^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$ и $DK^2 = 17$.
Подставим эти значения в формулу для $DC^2$:$DC^2 = CK^2 + DK^2 = 32 + 17 = 49$.
Отсюда, $DC = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

122. На рисунке 95 изображён куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите угол между плоскостями $A_1 AD$ и $B_1 BD$.

Рис. 95

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между прямыми, проведёнными в этих плоскостях перпендикулярно к их линии пересечения через одну её точку.

1. Найдём линию пересечения плоскостей.

Первая плоскость проходит через точки $A_1, A, D$. Так как точки $A, D, D_1, A_1$ лежат в одной плоскости (грань куба), то плоскость $A_1AD$ совпадает с плоскостью грани $ADD_1A_1$.

Вторая плоскость проходит через точки $B_1, B, D$. Эта плоскость является диагональным сечением куба $BDD_1B_1$.

Обе плоскости, $ADD_1A_1$ и $BDD_1B_1$, содержат ребро $DD_1$. Следовательно, прямая $DD_1$ является линией их пересечения.

2. Построим линейный угол двугранного угла.

Выберем на линии пересечения $DD_1$ точку $D_1$. Проведём через неё в каждой из плоскостей прямую, перпендикулярную $DD_1$.

В плоскости грани $ADD_1A_1$ (которая является квадратом) ребро $A_1D_1$ перпендикулярно ребру $DD_1$. То есть, $A_1D_1 \perp DD_1$.

Ребро куба $DD_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Значит, $DD_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $D_1$. Прямая $B_1D_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$ (а также в плоскости сечения $BDD_1B_1$) и проходит через точку $D_1$, следовательно, $B_1D_1 \perp DD_1$.

Таким образом, угол между плоскостями $A_1AD$ и $B_1BD$ равен углу между прямыми $A_1D_1$ и $B_1D_1$, то есть искомый угол — это $\angle A_1D_1B_1$.

3. Вычислим величину угла.

Угол $\angle A_1D_1B_1$ лежит в плоскости верхнего основания куба $A_1B_1C_1D_1$, которое является квадратом. В этом квадрате отрезок $A_1D_1$ является стороной, а отрезок $B_1D_1$ — диагональю, проведённой из той же вершины $D_1$.

Диагональ квадрата делит его угол пополам. Угол квадрата $\angle A_1D_1C_1$ равен $90^\circ$. Следовательно:

$\angle A_1D_1B_1 = \frac{1}{2} \angle A_1D_1C_1 = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Другой способ — рассмотреть прямоугольный треугольник $\triangle A_1B_1D_1$ (прямой угол при вершине $A_1$). Так как это куб, то катеты $A_1B_1$ и $A_1D_1$ равны. Значит, треугольник $\triangle A_1B_1D_1$ является равнобедренным, и его острые углы равны по $45^\circ$. Таким образом, $\angle A_1D_1B_1 = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

123. Через сторону $BC$ треугольника $ABC$ проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол $60^\circ$. Найдите расстояние от вершины $A$ до этой плоскости, если $AB = BC = 13 \text{ см}$, $AC = 10 \text{ см}$.

Пусть $\alpha$ — это плоскость, проходящая через сторону $BC$ треугольника $ABC$. Расстояние от вершины $A$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Обозначим этот перпендикуляр $AK$.

Угол между плоскостью треугольника $(ABC)$ и плоскостью $\alpha$ равен $60^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $BC$. Для построения линейного угла этого двугранного угла проведем в плоскости $(ABC)$ высоту $AH$ к стороне $BC$. Таким образом, $AH \perp BC$.

Рассмотрим треугольник $AKH$. В нем:
1. $AK \perp \alpha$ по определению расстояния от точки до плоскости, а значит $AK$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $AK \perp KH$ и $\triangle AKH$ — прямоугольный.
2. $AH$ — наклонная к плоскости $\alpha$, $KH$ — ее проекция на эту плоскость.
3. Угол $\angle AHK$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $\alpha$, так как $AH \perp BC$ и (по теореме о трех перпендикулярах) $KH \perp BC$. По условию, $\angle AHK = 60^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $AKH$ находим искомое расстояние $AK$:
$AK = AH \cdot \sin(\angle AHK) = AH \cdot \sin(60^\circ)$.

Теперь найдем длину высоты $AH$ в треугольнике $ABC$ со сторонами $AB = BC = 13$ см и $AC = 10$ см. Для этого сначала вычислим площадь треугольника $S$ по формуле Герона.
Полупериметр $p$ равен:
$p = \frac{13 + 13 + 10}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.
Площадь $S$ равна:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{18(18-13)(18-13)(18-10)} = \sqrt{18 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 8} = \sqrt{144 \cdot 25} = 12 \cdot 5 = 60$ см$^2$.

Площадь треугольника также можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$. В нашем случае:
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$.
Подставим известные значения:
$60 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot AH$.
Отсюда выразим $AH$:
$AH = \frac{60 \cdot 2}{13} = \frac{120}{13}$ см.

Наконец, вычисляем расстояние $AK$:
$AK = AH \cdot \sin(60^\circ) = \frac{120}{13} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{60\sqrt{3}}{13}$ см.

Ответ: $\frac{60\sqrt{3}}{13}$ см.

124. Угол между плоскостями треугольников $ABC$ и $ABD$ равен $60^{\circ}$, $AC = BC = 20$ см, $AB = 24$ см, $AD = BD$, $\angle ADB = 90^{\circ}$. Найдите отрезок $CD$.

1. Построение и анализ треугольника ABC.
Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AC = BC = 20$ см. Проведем из вершины $C$ высоту $CM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $M$ — середина отрезка $AB$.
Найдем длину отрезка $AM$:
$AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$ (где $\angle AMC = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем высоту $CM$:
$CM^2 = AC^2 - AM^2$
$CM^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$
$CM = \sqrt{256} = 16$ см.

2. Построение и анализ треугольника ABD.
Треугольник $ABD$ является равнобедренным ($AD = BD$) и прямоугольным ($\angle ADB = 90^\circ$). Проведем из вершины $D$ медиану $DM$ к гипотенузе $AB$. Так как треугольник равнобедренный, медиана $DM$ также является высотой, то есть $DM \perp AB$.
По свойству медианы, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, ее длина равна половине длины гипотенузы.
$DM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.

3. Нахождение длины отрезка CD.
Угол между плоскостями треугольников $ABC$ и $ABD$ — это двугранный угол с ребром $AB$. Мы построили два отрезка, $CM$ и $DM$, которые перпендикулярны ребру $AB$ и исходят из одной точки $M$ на этом ребре. Следовательно, угол между этими отрезками, $\angle CMD$, является линейным углом данного двугранного угла.
По условию, угол между плоскостями равен $60^\circ$, значит, $\angle CMD = 60^\circ$.
Теперь рассмотрим треугольник $CMD$. Мы знаем длины двух его сторон ($CM = 16$ см, $DM = 12$ см) и угол между ними ($\angle CMD = 60^\circ$). Чтобы найти длину третьей стороны $CD$, воспользуемся теоремой косинусов:
$CD^2 = CM^2 + DM^2 - 2 \cdot CM \cdot DM \cdot \cos(\angle CMD)$
Подставим известные значения:
$CD^2 = 16^2 + 12^2 - 2 \cdot 16 \cdot 12 \cdot \cos(60^\circ)$
Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получим:
$CD^2 = 256 + 144 - 2 \cdot 16 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}$
$CD^2 = 400 - 16 \cdot 12$
$CD^2 = 400 - 192$
$CD^2 = 208$
$CD = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$ см.
Ответ: $4\sqrt{13}$ см.

125. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $AMC$ имеют общее основание $AC$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $AMC$, если $BC = 10$ см, $AC = 12$ см, $MB = 2\sqrt{7}$ см, $\angle AMC = 120^\circ$.

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle AMC$ — равнобедренные, $AC$ — общее основание. $BC = 10$ см, $AC = 12$ см, $MB = 2\sqrt{7}$ см, $\angle AMC = 120^\circ$.

Найти: угол между плоскостями $(ABC)$ и $(AMC)$.

Решение

1. Угол между двумя плоскостями — это двугранный угол. Он измеряется линейным углом, который образуется при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Ребром двугранного угла, образованного плоскостями $(ABC)$ и $(AMC)$, является их общая прямая $AC$.

2. Построим линейный угол. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведём медиану $BH$ к основанию $AC$. Так как $BH$ является медианой, проведённой к основанию, она также является и высотой. Следовательно, $BH \perp AC$. Точка $H$ — середина отрезка $AC$.

3. В равнобедренном треугольнике $AMC$ ($AM=MC$) проведём медиану $MH$ к основанию $AC$. Так как $MH$ является медианой, проведённой к основанию, она также является и высотой. Следовательно, $MH \perp AC$.

4. Поскольку $BH \perp AC$ и $MH \perp AC$, то угол $\angle BHM$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(AMC)$. Найдём величину этого угла.

5. Рассмотрим $\triangle BHC$. Он прямоугольный ($ \angle BHC = 90^\circ $). Так как $H$ — середина $AC$, то $HC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см. По теореме Пифагора:
$BH^2 = BC^2 - HC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
$BH = \sqrt{64} = 8$ см.

6. Рассмотрим $\triangle MHC$. Он прямоугольный ($ \angle MHC = 90^\circ $). Так как $MH$ — медиана и высота в равнобедренном $\triangle AMC$, она также является биссектрисой угла $\angle AMC$.
$\angle HMC = \frac{1}{2}\angle AMC = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$
Из прямоугольного треугольника $MHC$ найдём $MH$:
$\text{tg}(\angle HMC) = \frac{HC}{MH} \implies MH = \frac{HC}{\text{tg}(\angle HMC)} = \frac{6}{\text{tg}(60^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

7. Теперь рассмотрим $\triangle BHM$. В нём известны все три стороны: $BH = 8$ см, $MH = 2\sqrt{3}$ см, $MB = 2\sqrt{7}$ см. По теореме косинусов найдём косинус угла $\angle BHM$. Обозначим $\angle BHM = \varphi$.
$MB^2 = BH^2 + MH^2 - 2 \cdot BH \cdot MH \cdot \cos\varphi$
$(2\sqrt{7})^2 = 8^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos\varphi$
$4 \cdot 7 = 64 + 4 \cdot 3 - 32\sqrt{3} \cdot \cos\varphi$
$28 = 64 + 12 - 32\sqrt{3} \cdot \cos\varphi$
$28 = 76 - 32\sqrt{3} \cdot \cos\varphi$
$32\sqrt{3} \cdot \cos\varphi = 76 - 28$
$32\sqrt{3} \cdot \cos\varphi = 48$
$\cos\varphi = \frac{48}{32\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Следовательно, $\varphi = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

126. Сторона $BC$ равностороннего треугольника $ABC$ принадлежит плоскости $\alpha$, а расстояние от вершины $A$ до плоскости $\alpha$ равно 1 см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$, если площадь треугольника $ABC$ равна $\frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ см}^2$.

Пусть $ABC$ — равносторонний треугольник, сторона $BC$ которого лежит в плоскости $\alpha$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Тогда $AM$ — высота, медиана и биссектриса треугольника $ABC$, и $AM \perp BC$.

Пусть $H$ — проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда $AH$ — это расстояние от вершины $A$ до плоскости $\alpha$, и по условию $AH = 1$ см. Отрезок $HM$ — это проекция высоты $AM$ на плоскость $\alpha$. Угол между плоскостью $ABC$ и плоскостью $\alpha$ — это двугранный угол, который измеряется линейным углом $\angle AMH$. Обозначим этот угол $\phi$.

Треугольник $AHM$ является прямоугольным, так как $AH \perp \alpha$, а значит, $AH$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $HM$. В этом треугольнике катет $AH$ противолежит углу $\phi$, а $AM$ является гипотенузой. Следовательно, $\sin \phi = \frac{AH}{AM}$.

Для нахождения угла $\phi$ нам нужно найти длину высоты $AM$. Мы можем найти ее, зная площадь треугольника $ABC$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ выражается формулой $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. По условию, $S_{ABC} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$ и решим уравнение относительно $a^2$:

$\frac{a^2}{4} = \frac{4}{3} \Rightarrow a^2 = \frac{16}{3}$

Отсюда сторона треугольника $a = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

Высота $AM$ равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Подставим найденное значение $a$:

$AM = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Теперь мы можем найти синус угла $\phi$ в прямоугольном треугольнике $AHM$:

$\sin \phi = \frac{AH}{AM} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, — это $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.