Номер 125, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $AMC$ имеют общее основание $AC$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $AMC$, если $BC = 10$ см, $AC = 12$ см, $MB = 2\sqrt{7}$ см, $\angle AMC = 120^\circ$.

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle AMC$ — равнобедренные, $AC$ — общее основание. $BC = 10$ см, $AC = 12$ см, $MB = 2\sqrt{7}$ см, $\angle AMC = 120^\circ$.

Найти: угол между плоскостями $(ABC)$ и $(AMC)$.

Решение

1. Угол между двумя плоскостями — это двугранный угол. Он измеряется линейным углом, который образуется при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Ребром двугранного угла, образованного плоскостями $(ABC)$ и $(AMC)$, является их общая прямая $AC$.

2. Построим линейный угол. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведём медиану $BH$ к основанию $AC$. Так как $BH$ является медианой, проведённой к основанию, она также является и высотой. Следовательно, $BH \perp AC$. Точка $H$ — середина отрезка $AC$.

3. В равнобедренном треугольнике $AMC$ ($AM=MC$) проведём медиану $MH$ к основанию $AC$. Так как $MH$ является медианой, проведённой к основанию, она также является и высотой. Следовательно, $MH \perp AC$.

4. Поскольку $BH \perp AC$ и $MH \perp AC$, то угол $\angle BHM$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(AMC)$. Найдём величину этого угла.

5. Рассмотрим $\triangle BHC$. Он прямоугольный ($ \angle BHC = 90^\circ $). Так как $H$ — середина $AC$, то $HC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см. По теореме Пифагора:
$BH^2 = BC^2 - HC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
$BH = \sqrt{64} = 8$ см.

6. Рассмотрим $\triangle MHC$. Он прямоугольный ($ \angle MHC = 90^\circ $). Так как $MH$ — медиана и высота в равнобедренном $\triangle AMC$, она также является биссектрисой угла $\angle AMC$.
$\angle HMC = \frac{1}{2}\angle AMC = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$
Из прямоугольного треугольника $MHC$ найдём $MH$:
$\text{tg}(\angle HMC) = \frac{HC}{MH} \implies MH = \frac{HC}{\text{tg}(\angle HMC)} = \frac{6}{\text{tg}(60^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

7. Теперь рассмотрим $\triangle BHM$. В нём известны все три стороны: $BH = 8$ см, $MH = 2\sqrt{3}$ см, $MB = 2\sqrt{7}$ см. По теореме косинусов найдём косинус угла $\angle BHM$. Обозначим $\angle BHM = \varphi$.
$MB^2 = BH^2 + MH^2 - 2 \cdot BH \cdot MH \cdot \cos\varphi$
$(2\sqrt{7})^2 = 8^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos\varphi$
$4 \cdot 7 = 64 + 4 \cdot 3 - 32\sqrt{3} \cdot \cos\varphi$
$28 = 64 + 12 - 32\sqrt{3} \cdot \cos\varphi$
$28 = 76 - 32\sqrt{3} \cdot \cos\varphi$
$32\sqrt{3} \cdot \cos\varphi = 76 - 28$
$32\sqrt{3} \cdot \cos\varphi = 48$
$\cos\varphi = \frac{48}{32\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Следовательно, $\varphi = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.