Номер 129, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. Через точку $O$ пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$ проведена прямая $m$, перпендикулярная плоскости прямоугольника. Плоскость, проведённая через сторону $AB$, пересекает прямую $m$ в точке $E$. Угол между плоскостями $ABC$ и $ABE$ равен $30^\circ$. Найдите проекцию отрезка $EO$ на плоскость $ABE$, если $AD = 12$ см.

Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник, а $O$ — точка пересечения его диагоналей. Через точку $O$ проведена прямая $m$, перпендикулярная плоскости прямоугольника $(ABC)$. Это означает, что отрезок $EO$, где $E$ — точка на прямой $m$, перпендикулярен плоскости $(ABC)$, т.е. $EO \perp (ABC)$.

Плоскости $(ABC)$ и $(ABE)$ пересекаются по прямой $AB$. Угол между этими плоскостями по условию равен $30^\circ$. Для нахождения этого угла в пространстве построим его линейный аналог. Для этого проведем в некоторой точке на прямой $AB$ два перпендикуляра к ней, лежащие в данных плоскостях.

Пусть $K$ — середина стороны $AB$. В плоскости прямоугольника $(ABC)$ проведем отрезок $OK$. Так как $O$ — центр прямоугольника, $OK$ перпендикулярен $AB$ и его длина равна половине длины стороны $AD$.

$OK \perp AB$ и $OK = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Поскольку $EO \perp (ABC)$, то $EO$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, следовательно, $EO \perp AB$ и $EO \perp OK$. Таким образом, треугольник $EKO$ является прямоугольным ($\angle EOK = 90^\circ$).

Так как прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $OK$ и $EO$ (лежащим в плоскости $(EKO)$), то прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости $(EKO)$.

В плоскости $(ABE)$ проведем отрезок $EK$. Поскольку $EK$ лежит в плоскости $(EKO)$, то $AB \perp EK$.

Мы получили, что $OK \perp AB$ (в плоскости $(ABC)$) и $EK \perp AB$ (в плоскости $(ABE)$), причем оба перпендикуляра проведены к точке $K$ на линии пересечения. Следовательно, угол $\angle EKO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(ABE)$. По условию, $\angle EKO = 30^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $EKO$ найдем длину катета $EO$:

$\tan(\angle EKO) = \frac{EO}{OK} \Rightarrow EO = OK \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем проекцию отрезка $EO$ на плоскость $(ABE)$. Проекцией является отрезок, соединяющий проекции его концов. Точка $E$ уже лежит в плоскости $(ABE)$, поэтому ее проекция — это сама точка $E$. Найдем проекцию точки $O$ на плоскость $(ABE)$. Обозначим ее $H$. Искомая проекция — это отрезок $EH$.

Для нахождения точки $H$ опустим перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на плоскость $(ABE)$.

Ранее мы установили, что плоскость $(EKO)$ перпендикулярна прямой $AB$. Так как прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABE)$, то плоскости $(EKO)$ и $(ABE)$ взаимно перпендикулярны. Линия их пересечения — прямая $EK$.

Поскольку точка $O$ лежит в плоскости $(EKO)$, перпендикуляр из $O$ на плоскость $(ABE)$ будет лежать в плоскости $(EKO)$ и будет перпендикулярен линии пересечения $EK$. Таким образом, $OH$ — это высота прямоугольного треугольника $EKO$, проведенная к гипотенузе $EK$.

Длина искомой проекции — это длина отрезка $EH$. В прямоугольном треугольнике $EKO$ угол $\angle OEK = 90^\circ - \angle EKO = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHE$ (где $\angle OHE = 90^\circ$, так как $OH$ — перпендикуляр к плоскости $(ABE)$ и, следовательно, к любой прямой в ней, включая $EH$). Из этого треугольника находим:

$EH = EO \cdot \cos(\angle OEK) = 2\sqrt{3} \cdot \cos(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см.