Номер 134, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. Точка $M$ равноудалена от вершин $C$ и $D$ прямоугольника $ABCD$. Из точки $M$ к стороне $AB$ проведён перпендикуляр $MN$. Докажите, что плоскость прямоугольника перпендикулярна плоскости $MNO$, где $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника.

Для доказательства перпендикулярности плоскости прямоугольника $ABCD$ (обозначим ее как $(ABC)$) и плоскости $(MNO)$, мы воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей. Признак гласит: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Наша задача — доказать, что в плоскости $(MNO)$ существует прямая, перпендикулярная плоскости $(ABC)$.

1. По условию, точка $M$ равноудалена от вершин $C$ и $D$ прямоугольника, то есть $MC = MD$. Рассмотрим треугольник $\triangle MCD$. Он является равнобедренным.

2. Пусть точка $P$ — это проекция точки $M$ на плоскость $(ABC)$. Тогда отрезок $MP$ является перпендикуляром к плоскости $(ABC)$, то есть $MP \perp (ABC)$. Отрезки $PC$ и $PD$ являются проекциями наклонных $MC$ и $MD$ на плоскость $(ABC)$ соответственно.

3. Так как наклонные равны ($MC = MD$), то равны и их проекции: $PC = PD$. Это означает, что точка $P$ в плоскости прямоугольника равноудалена от точек $C$ и $D$. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $CD$.

4. В прямоугольнике $ABCD$ серединный перпендикуляр к стороне $CD$ проходит через середину $CD$, параллелен сторонам $AD$ и $BC$, и также проходит через середину стороны $AB$. Обозначим середину $AB$ как $N_{ср}$ и середину $CD$ как $K$. Таким образом, точка $P$ лежит на прямой $N_{ср}K$. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей — также лежит на этой прямой (так как она является центром симметрии прямоугольника).

5. По условию, из точки $M$ к стороне $AB$ проведен перпендикуляр $MN$, то есть $MN \perp AB$. $MP$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, $MN$ — наклонная, а $PN$ — ее проекция на плоскость $(ABC)$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой на плоскости ($MN \perp AB$), то и ее проекция перпендикулярна этой же прямой ($PN \perp AB$).

6. Совместим результаты:

• Точка $P$ лежит на прямой $N_{ср}K$, которая перпендикулярна стороне $AB$.
• Точка $N$ лежит на стороне $AB$.
• Отрезок $PN$ перпендикулярен стороне $AB$.

Из этого следует, что точка $N$ может быть только точкой пересечения прямой $N_{ср}K$ и стороны $AB$. Эта точка и есть середина стороны $AB$, то есть $N$ совпадает с $N_{ср}$.

7. Таким образом, мы установили, что точка $N$ из условия — это середина стороны $AB$. Точки $N$ и $O$ лежат на серединном перпендикуляре к сторонам $AB$ и $CD$. Точка $P$ (проекция $M$) также лежит на этом серединном перпендикуляре. Следовательно, точки $N$, $O$ и $P$ лежат на одной прямой.

8. Рассмотрим плоскость $(MNO)$. Она проходит через точки $M$, $N$ и $O$. Так как точка $P$ лежит на прямой $NO$, то точка $P$ также принадлежит плоскости $(MNO)$. Это означает, что прямая $MP$ целиком лежит в плоскости $(MNO)$.

9. Ранее мы установили, что $MP \perp (ABC)$. Таким образом, плоскость $(MNO)$ проходит через прямую $MP$, которая перпендикулярна плоскости $(ABC)$. По признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $(MNO)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.