Номер 138, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle B = 90^\circ$) перегну-ли по его медиане $BM$ так, что плоскости $BAM$ и$BMC$ оказались перпендикулярными. Найдите рас-стояние между точками $A$ и $C$ в новом положении, ес-ли $AB = 12$ см, $\cos \angle BAM = \frac{3}{5}$.

1. Анализ исходного треугольника $ABC$.

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $B$ ($\angle B = 90^\circ$). Известно, что катет $AB = 12$ см и косинус угла $\angle BAM$ равен $3/5$. Поскольку $BM$ - медиана, точка $M$ лежит на гипотенузе $AC$, и угол $\angle BAM$ совпадает с углом $\angle BAC$ (или просто $\angle A$).

Таким образом, $\cos A = 3/5$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике $ABC$ найдем гипотенузу $AC$:$AC = \frac{AB}{\cos A} = \frac{12}{3/5} = 12 \cdot \frac{5}{3} = 20$ см.

Используя теорему Пифагора, найдем второй катет $BC$:$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см.

По свойству медианы, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, ее длина равна половине гипотенузы:$BM = AM = MC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см.

Итак, исходный треугольник $ABC$ разделен медианой $BM$ на два равнобедренных треугольника:

• $\triangle BAM$ со сторонами $AM = BM = 10$ см и $AB = 12$ см.
• $\triangle BMC$ со сторонами $BM = CM = 10$ см и $BC = 16$ см.

2. Анализ пространственной фигуры.

Треугольник перегнули по медиане $BM$ так, что плоскости $(BAM)$ и $(BMC)$ стали перпендикулярны. Требуется найти расстояние между точками $A$ и $C$ в новом положении. Для решения этой задачи опустим из точек $A$ и $C$ перпендикуляры $AH_A$ и $CH_C$ на линию сгиба $BM$.

В получившейся пространственной конфигурации расстояние $AC$ можно найти по обобщенной теореме Пифагора. Так как плоскости $(BAM)$ и $(BMC)$ перпендикулярны, то перпендикуляры $AH_A$ и $CH_C$ также перпендикулярны друг другу. Тогда квадрат искомого расстояния $AC$ равен сумме квадратов трех взаимно перпендикулярных отрезков: расстояния между основаниями высот $H_A H_C$ и длин самих высот $AH_A$ и $CH_C$.

$AC^2 = H_A H_C^2 + AH_A^2 + CH_C^2$

3. Вычисление высот и их оснований.

Найдем высоту $AH_A$ в треугольнике $BAM$. Его площадь можно вычислить по формуле Герона. Полупериметр $p_{BAM} = (10 + 10 + 12) / 2 = 16$ см.

$S_{BAM} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = 4 \cdot 6 \cdot 2 = 48$ см$^2$.

С другой стороны, площадь равна $S_{BAM} = \frac{1}{2} BM \cdot AH_A$. Отсюда:

$48 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot AH_A \implies AH_A = \frac{48}{5} = 9.6$ см.

Теперь найдем расстояние $MH_A$ от точки $M$ до основания высоты $H_A$. Из прямоугольного треугольника $AMH_A$:

$MH_A = \sqrt{AM^2 - AH_A^2} = \sqrt{10^2 - (9.6)^2} = \sqrt{100 - 92.16} = \sqrt{7.84} = 2.8$ см.

Аналогично для треугольника $BMC$. Полупериметр $p_{BMC} = (10 + 10 + 16) / 2 = 18$ см.

$S_{BMC} = \sqrt{18(18-10)(18-10)(18-16)} = \sqrt{18 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 2} = \sqrt{36 \cdot 64} = 6 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

$S_{BMC} = \frac{1}{2} BM \cdot CH_C \implies 48 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot CH_C \implies CH_C = \frac{48}{5} = 9.6$ см.

$MH_C = \sqrt{CM^2 - CH_C^2} = \sqrt{10^2 - (9.6)^2} = \sqrt{7.84} = 2.8$ см.

Важно определить положение точек $H_A$ и $H_C$ на прямой $BM$. В $\triangle BAM$ $AB^2 = 144 < AM^2 + BM^2 = 10^2 + 10^2 = 200$, значит, угол $\angle AMB$ острый, и основание высоты $H_A$ лежит на отрезке $BM$. В $\triangle BMC$ $BC^2 = 256 > BM^2 + CM^2 = 10^2+10^2 = 200$, значит, угол $\angle BMC$ тупой, и основание высоты $H_C$ лежит на продолжении отрезка $BM$ за точку $M$.

Следовательно, расстояние между основаниями высот $H_A$ и $H_C$ равно сумме их расстояний до точки $M$:

$H_A H_C = MH_A + MH_C = 2.8 + 2.8 = 5.6$ см.

4. Вычисление итогового расстояния $AC$.

Подставим найденные значения в формулу:

$AC^2 = H_A H_C^2 + AH_A^2 + CH_C^2 = (5.6)^2 + (9.6)^2 + (9.6)^2$

$AC^2 = 31.36 + 92.16 + 92.16 = 215.68$

$AC = \sqrt{215.68}$ см.

Для упрощения можно представить десятичные дроби в виде обыкновенных:

$H_A H_C = 5.6 = \frac{28}{5}$; $AH_A = CH_C = 9.6 = \frac{48}{5}$.

$AC^2 = (\frac{28}{5})^2 + (\frac{48}{5})^2 + (\frac{48}{5})^2 = \frac{28^2 + 48^2 + 48^2}{25} = \frac{784 + 2304 + 2304}{25} = \frac{5392}{25}$.

$AC = \sqrt{\frac{5392}{25}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 337}}{5} = \frac{4\sqrt{337}}{5}$ см.

Ответ: $\frac{4\sqrt{337}}{5}$ см.