Номер 135, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны и пересекаются по прямой $a$. Плоскость $\gamma$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ соответственно по прямым $b$ и $c$, параллельным прямой $a$. Расстояние между прямыми $b$ и $a$ равно 8 см, а между прямыми $c$ и $a$ — 15 см. Найдите расстояние между прямой $a$ и плоскостью $\gamma$.

Обозначим расстояние между объектами как $\rho(X, Y)$. Нам даны плоскости $\alpha$ и $\beta$ такие, что $\alpha \perp \beta$ и их линия пересечения — прямая $a$. Плоскость $\gamma$ пересекает $\alpha$ по прямой $b$ и $\beta$ по прямой $c$. Известно, что $b \parallel a$ и $c \parallel a$. Также даны расстояния $\rho(b, a) = 8$ см и $\rho(c, a) = 15$ см. Требуется найти расстояние $\rho(a, \gamma)$.

1. Поскольку прямая $a$ не лежит в плоскости $\gamma$ (иначе $\gamma$ содержала бы $a$ и пересекала $\alpha$ и $\beta$ по прямой $a$, а не по $b$ и $c$), и при этом $a$ параллельна прямой $b$, которая лежит в плоскости $\gamma$ ($a \parallel b, b \subset \gamma$), то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $a$ параллельна плоскости $\gamma$ ($a \parallel \gamma$).

2. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $O$. Тогда искомое расстояние $\rho(a, \gamma)$ будет равно расстоянию от точки $O$ до плоскости $\gamma$.

3. Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом сечений. Проведем через точку $O$ плоскость $\Pi$, перпендикулярную прямой $a$. Так как $b \parallel a$ и $c \parallel a$, то плоскость $\Pi$ будет перпендикулярна и прямым $b$ и $c$.

4. Пусть плоскость $\Pi$ пересекает прямые $b$ и $c$ в точках $B$ и $C$ соответственно.
- Так как $a \parallel b$ и обе лежат в плоскости $\alpha$, то расстояние между ними $\rho(a, b)$ равно длине перпендикуляра, проведенного из точки $O \in a$ к прямой $b$. Отрезок $OB$ лежит в секущей плоскости $\Pi$, перпендикулярной $a$ и $b$, следовательно, $OB \perp a$ и $OB \perp b$. Таким образом, $OB = \rho(a, b) = 8$ см.
- Аналогично, $a \parallel c$ и обе лежат в плоскости $\beta$. Отрезок $OC$ лежит в плоскости $\Pi$, перпендикулярной $a$ и $c$, следовательно, $OC = \rho(a, c) = 15$ см.

5. Рассмотрим фигуру, образованную в секущей плоскости $\Pi$. Отрезок $OB$ лежит в плоскости $\alpha$ ($B \in b, b \subset \alpha$), отрезок $OC$ лежит в плоскости $\beta$ ($C \in c, c \subset \beta$). Поскольку по условию плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, а отрезки $OB$ и $OC$ являются линиями пересечения этих плоскостей с секущей плоскостью $\Pi$, то угол между ними будет прямым: $\angle BOC = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $\triangle OBC$ — прямоугольный.

6. Точки $B$ и $C$ принадлежат плоскости $\gamma$ (так как $b \subset \gamma$ и $c \subset \gamma$), а значит и вся прямая $BC$ лежит в плоскости $\gamma$. Расстояние от точки $O$ до плоскости $\gamma$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $\gamma$. Поскольку прямая $BC$ лежит в плоскости $\gamma$, а плоскость $\triangle OBC$ (то есть плоскость $\Pi$) перпендикулярна плоскости $\gamma$ (так как $a \parallel \gamma$ и $a \perp \Pi$), то этот перпендикуляр будет лежать в плоскости $\Pi$ и будет являться высотой $OH$ треугольника $\triangle OBC$, проведенной к гипотенузе $BC$.

7. Найдем длину высоты $OH$ в прямоугольном треугольнике $\triangle OBC$ с катетами $OB = 8$ см и $OC = 15$ см.
Сначала по теореме Пифагора найдем гипотенузу $BC$:
$BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ см.
Высоту $OH$, проведенную к гипотенузе, можно найти через площадь треугольника. Площадь $\triangle OBC$ равна:
$S = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$ см$^2$.
С другой стороны, площадь равна:
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot OH$.
Приравнивая два выражения для площади, получаем:
$\frac{1}{2} \cdot 17 \cdot OH = 60$
$17 \cdot OH = 120$
$OH = \frac{120}{17}$ см.

Таким образом, расстояние от прямой $a$ до плоскости $\gamma$ равно $\frac{120}{17}$ см.
Ответ: $\frac{120}{17}$ см.