Номер 139, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ квадрата $ABCD$. Квадрат перегнули по прямой $MN$ так, что плоскости прямоугольников $AMND$ и $BCNM$ оказались перпендикулярными (рис. 96). Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $MN$ в новом положении, если $AD = 4$ см.

Рис. 96

Введем прямоугольную систему координат. Пусть точка D совпадает с началом координат, ось Dx направлена по лучу DA, ось Dy — по лучу DN. После перегибания квадрата по прямой MN плоскость прямоугольника AMND совпадет с плоскостью Oxy. Так как плоскости прямоугольников AMND и BCNM перпендикулярны, то плоскость BCNM будет перпендикулярна плоскости Oxy.

В данной системе координат найдем координаты точек A, C, M, N. Поскольку AD = 4 см, а N — середина CD, то DN = 2 см. Аналогично, AM = 2 см. Точка D имеет координаты (0; 0; 0). Точка A лежит на оси Dx на расстоянии 4 от начала координат, следовательно, A(4; 0; 0). Точка N лежит на оси Dy на расстоянии 2 от начала координат, следовательно, N(0; 2; 0). Так как AMND — прямоугольник, координаты точки M будут M(4; 2; 0).

После перегибания прямоугольник BCNM оказывается в плоскости, перпендикулярной плоскости Oxy и проходящей через прямую MN. Точка C, которая в исходном квадрате имела бы координаты (0; 4; 0), перемещается. Ее расстояние от точки N равно NC = 2. В новом положении ее координаты будут C(0; 2; 2).

Теперь нам нужно найти расстояние между скрещивающимися прямыми AC и MN. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Найдем уравнение плоскости $\alpha$, которая проходит через прямую MN параллельно прямой AC. Направляющий вектор прямой MN: $\vec{v}_1 = \vec{MN} = \{0-4; 2-2; 0-0\} = \{-4; 0; 0\}$. Направляющий вектор прямой AC: $\vec{v}_2 = \vec{AC} = \{0-4; 2-0; 2-0\} = \{-4; 2; 2\}$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $\alpha$ будет перпендикулярен обоим векторам $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$. Найдем его как их векторное произведение: $\vec{n} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 0 & 0 \\ -4 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 2 - 0 \cdot 2) - \vec{j}(-4 \cdot 2 - 0 \cdot (-4)) + \vec{k}(-4 \cdot 2 - 0 \cdot (-4)) = 0\vec{i} + 8\vec{j} - 8\vec{k}$. Таким образом, $\vec{n} = \{0; 8; -8\}$. Для удобства можно использовать коллинеарный вектор $\vec{n'} = \{0; 1; -1\}$.

Плоскость $\alpha$ проходит через точку N(0; 2; 0) и имеет вектор нормали $\vec{n'} = \{0; 1; -1\}$. Ее уравнение: $0(x-0) + 1(y-2) - 1(z-0) = 0$ $y - 2 - z = 0$

Искомое расстояние между прямыми AC и MN равно расстоянию от любой точки прямой AC, например, от точки A(4; 0; 0), до плоскости $\alpha$. Воспользуемся формулой расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$: $\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ $\rho = \frac{|0 \cdot 4 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 - 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{1+1}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ см.

Ответ: $\sqrt{2}$ см.