Страница 83 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. Точка $M$ равноудалена от вершин $C$ и $D$ прямоугольника $ABCD$. Из точки $M$ к стороне $AB$ проведён перпендикуляр $MN$. Докажите, что плоскость прямоугольника перпендикулярна плоскости $MNO$, где $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника.

Для доказательства перпендикулярности плоскости прямоугольника $ABCD$ (обозначим ее как $(ABC)$) и плоскости $(MNO)$, мы воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей. Признак гласит: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Наша задача — доказать, что в плоскости $(MNO)$ существует прямая, перпендикулярная плоскости $(ABC)$.

1. По условию, точка $M$ равноудалена от вершин $C$ и $D$ прямоугольника, то есть $MC = MD$. Рассмотрим треугольник $\triangle MCD$. Он является равнобедренным.

2. Пусть точка $P$ — это проекция точки $M$ на плоскость $(ABC)$. Тогда отрезок $MP$ является перпендикуляром к плоскости $(ABC)$, то есть $MP \perp (ABC)$. Отрезки $PC$ и $PD$ являются проекциями наклонных $MC$ и $MD$ на плоскость $(ABC)$ соответственно.

3. Так как наклонные равны ($MC = MD$), то равны и их проекции: $PC = PD$. Это означает, что точка $P$ в плоскости прямоугольника равноудалена от точек $C$ и $D$. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $CD$.

4. В прямоугольнике $ABCD$ серединный перпендикуляр к стороне $CD$ проходит через середину $CD$, параллелен сторонам $AD$ и $BC$, и также проходит через середину стороны $AB$. Обозначим середину $AB$ как $N_{ср}$ и середину $CD$ как $K$. Таким образом, точка $P$ лежит на прямой $N_{ср}K$. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей — также лежит на этой прямой (так как она является центром симметрии прямоугольника).

5. По условию, из точки $M$ к стороне $AB$ проведен перпендикуляр $MN$, то есть $MN \perp AB$. $MP$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, $MN$ — наклонная, а $PN$ — ее проекция на плоскость $(ABC)$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой на плоскости ($MN \perp AB$), то и ее проекция перпендикулярна этой же прямой ($PN \perp AB$).

6. Совместим результаты:

• Точка $P$ лежит на прямой $N_{ср}K$, которая перпендикулярна стороне $AB$.
• Точка $N$ лежит на стороне $AB$.
• Отрезок $PN$ перпендикулярен стороне $AB$.

Из этого следует, что точка $N$ может быть только точкой пересечения прямой $N_{ср}K$ и стороны $AB$. Эта точка и есть середина стороны $AB$, то есть $N$ совпадает с $N_{ср}$.

7. Таким образом, мы установили, что точка $N$ из условия — это середина стороны $AB$. Точки $N$ и $O$ лежат на серединном перпендикуляре к сторонам $AB$ и $CD$. Точка $P$ (проекция $M$) также лежит на этом серединном перпендикуляре. Следовательно, точки $N$, $O$ и $P$ лежат на одной прямой.

8. Рассмотрим плоскость $(MNO)$. Она проходит через точки $M$, $N$ и $O$. Так как точка $P$ лежит на прямой $NO$, то точка $P$ также принадлежит плоскости $(MNO)$. Это означает, что прямая $MP$ целиком лежит в плоскости $(MNO)$.

9. Ранее мы установили, что $MP \perp (ABC)$. Таким образом, плоскость $(MNO)$ проходит через прямую $MP$, которая перпендикулярна плоскости $(ABC)$. По признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $(MNO)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

135. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны и пересекаются по прямой $a$. Плоскость $\gamma$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ соответственно по прямым $b$ и $c$, параллельным прямой $a$. Расстояние между прямыми $b$ и $a$ равно 8 см, а между прямыми $c$ и $a$ — 15 см. Найдите расстояние между прямой $a$ и плоскостью $\gamma$.

Обозначим расстояние между объектами как $\rho(X, Y)$. Нам даны плоскости $\alpha$ и $\beta$ такие, что $\alpha \perp \beta$ и их линия пересечения — прямая $a$. Плоскость $\gamma$ пересекает $\alpha$ по прямой $b$ и $\beta$ по прямой $c$. Известно, что $b \parallel a$ и $c \parallel a$. Также даны расстояния $\rho(b, a) = 8$ см и $\rho(c, a) = 15$ см. Требуется найти расстояние $\rho(a, \gamma)$.

1. Поскольку прямая $a$ не лежит в плоскости $\gamma$ (иначе $\gamma$ содержала бы $a$ и пересекала $\alpha$ и $\beta$ по прямой $a$, а не по $b$ и $c$), и при этом $a$ параллельна прямой $b$, которая лежит в плоскости $\gamma$ ($a \parallel b, b \subset \gamma$), то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $a$ параллельна плоскости $\gamma$ ($a \parallel \gamma$).

2. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $O$. Тогда искомое расстояние $\rho(a, \gamma)$ будет равно расстоянию от точки $O$ до плоскости $\gamma$.

3. Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом сечений. Проведем через точку $O$ плоскость $\Pi$, перпендикулярную прямой $a$. Так как $b \parallel a$ и $c \parallel a$, то плоскость $\Pi$ будет перпендикулярна и прямым $b$ и $c$.

4. Пусть плоскость $\Pi$ пересекает прямые $b$ и $c$ в точках $B$ и $C$ соответственно.
- Так как $a \parallel b$ и обе лежат в плоскости $\alpha$, то расстояние между ними $\rho(a, b)$ равно длине перпендикуляра, проведенного из точки $O \in a$ к прямой $b$. Отрезок $OB$ лежит в секущей плоскости $\Pi$, перпендикулярной $a$ и $b$, следовательно, $OB \perp a$ и $OB \perp b$. Таким образом, $OB = \rho(a, b) = 8$ см.
- Аналогично, $a \parallel c$ и обе лежат в плоскости $\beta$. Отрезок $OC$ лежит в плоскости $\Pi$, перпендикулярной $a$ и $c$, следовательно, $OC = \rho(a, c) = 15$ см.

5. Рассмотрим фигуру, образованную в секущей плоскости $\Pi$. Отрезок $OB$ лежит в плоскости $\alpha$ ($B \in b, b \subset \alpha$), отрезок $OC$ лежит в плоскости $\beta$ ($C \in c, c \subset \beta$). Поскольку по условию плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, а отрезки $OB$ и $OC$ являются линиями пересечения этих плоскостей с секущей плоскостью $\Pi$, то угол между ними будет прямым: $\angle BOC = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $\triangle OBC$ — прямоугольный.

6. Точки $B$ и $C$ принадлежат плоскости $\gamma$ (так как $b \subset \gamma$ и $c \subset \gamma$), а значит и вся прямая $BC$ лежит в плоскости $\gamma$. Расстояние от точки $O$ до плоскости $\gamma$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $\gamma$. Поскольку прямая $BC$ лежит в плоскости $\gamma$, а плоскость $\triangle OBC$ (то есть плоскость $\Pi$) перпендикулярна плоскости $\gamma$ (так как $a \parallel \gamma$ и $a \perp \Pi$), то этот перпендикуляр будет лежать в плоскости $\Pi$ и будет являться высотой $OH$ треугольника $\triangle OBC$, проведенной к гипотенузе $BC$.

7. Найдем длину высоты $OH$ в прямоугольном треугольнике $\triangle OBC$ с катетами $OB = 8$ см и $OC = 15$ см.
Сначала по теореме Пифагора найдем гипотенузу $BC$:
$BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ см.
Высоту $OH$, проведенную к гипотенузе, можно найти через площадь треугольника. Площадь $\triangle OBC$ равна:
$S = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$ см$^2$.
С другой стороны, площадь равна:
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot OH$.
Приравнивая два выражения для площади, получаем:
$\frac{1}{2} \cdot 17 \cdot OH = 60$
$17 \cdot OH = 120$
$OH = \frac{120}{17}$ см.

Таким образом, расстояние от прямой $a$ до плоскости $\gamma$ равно $\frac{120}{17}$ см.
Ответ: $\frac{120}{17}$ см.

136. Точки $A$ и $B$ лежат в перпендикулярных плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Из точек $A$ и $B$ опустили перпендикуляры $AE$ и $BF$ на линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Найдите расстояние от точки $A$ до линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, если расстояние от точки $B$ до этой линии равно 9 см, $AB = 25$ см, $EF = 12$ см.

Пусть $l$ — линия пересечения плоскостей $α$ и $β$. По условию задачи, точки $A$ и $B$ лежат в плоскостях $α$ и $β$ соответственно, причем эти плоскости перпендикулярны ($α \perp β$).

Из точек $A$ и $B$ опущены перпендикуляры $AE$ и $BF$ на линию пересечения $l$. Это означает, что точки $E$ и $F$ лежат на прямой $l$, и $AE \perp l$, $BF \perp l$.

Искомое расстояние от точки $A$ до линии пересечения плоскостей — это длина перпендикуляра $AE$.

Нам даны следующие значения:

• Расстояние от точки $B$ до линии пересечения, $BF = 9$ см.
• Расстояние между точками $A$ и $B$, $AB = 25$ см.
• Расстояние между основаниями перпендикуляров, $EF = 12$ см.

Рассмотрим пространственное расположение элементов. Так как плоскость $β$ перпендикулярна плоскости $α$, и прямая $BF$ лежит в плоскости $β$ и перпендикулярна линии их пересечения $l$, то прямая $BF$ перпендикулярна всей плоскости $α$ ($BF \perp α$).

Поскольку прямая $BF$ перпендикулярна плоскости $α$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отрезок $AF$ лежит в плоскости $α$, следовательно, $BF \perp AF$. Это означает, что треугольник $ABF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $ΔABF$: $AB^2 = AF^2 + BF^2$

Подставим известные значения, чтобы найти длину $AF$: $25^2 = AF^2 + 9^2$ $625 = AF^2 + 81$ $AF^2 = 625 - 81$ $AF^2 = 544$

Теперь рассмотрим плоскость $α$. В этой плоскости лежат точки $A$, $E$ и $F$. По условию, $AE$ — перпендикуляр к прямой $l$, на которой лежат точки $E$ и $F$. Следовательно, $AE \perp EF$. Это означает, что треугольник $AEF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $E$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $ΔAEF$: $AF^2 = AE^2 + EF^2$

Мы уже нашли $AF^2 = 544$ и знаем, что $EF = 12$ см. Подставим эти значения, чтобы найти искомую длину $AE$: $544 = AE^2 + 12^2$ $544 = AE^2 + 144$ $AE^2 = 544 - 144$ $AE^2 = 400$ $AE = \sqrt{400} = 20$ см.

Таким образом, расстояние от точки $A$ до линии пересечения плоскостей равно 20 см.

Ответ: 20 см.

137. Точки $M$ и $N$ лежат в перпендикулярных плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Из точек $M$ и $N$ опущены перпендикуляры $ME$ и $NK$ на линию пересечения плоскостей, $MN = 12$ см, $NK = 6\sqrt{2}$ см, $ME = 6$ см. Найдите углы, которые образует отрезок $MN$ с плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Пусть $l$ — линия пересечения перпендикулярных плоскостей $\alpha$ и $\beta$. По условию, точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$), а точка $N$ — в плоскости $\beta$ ($N \in \beta$).

$ME$ и $NK$ — перпендикуляры, опущенные из точек $M$ и $N$ на линию пересечения $l$. Это означает, что $ME \perp l$ и $NK \perp l$, причем точки $E$ и $K$ лежат на прямой $l$.

По свойству перпендикулярных плоскостей, если прямая, лежащая в одной из них, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и второй плоскости.

• Поскольку $ME \subset \alpha$ и $ME \perp l$, то $ME \perp \beta$.
• Поскольку $NK \subset \beta$ и $NK \perp l$, то $NK \perp \alpha$.

Найдем угол, который образует отрезок MN с плоскостью $\alpha$

Углом между отрезком (наклоной) и плоскостью называется угол между этим отрезком и его ортогональной проекцией на эту плоскость.

Так как $NK \perp \alpha$, то отрезок $MK$ является проекцией отрезка $MN$ на плоскость $\alpha$. Следовательно, искомый угол — это $\angle NMK$.

Рассмотрим треугольник $\triangle NKM$. Поскольку $NK \perp \alpha$, то прямая $NK$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$, в том числе и прямой $MK$. Это означает, что $\triangle NKM$ — прямоугольный с прямым углом $\angle NKM = 90^\circ$.

В этом треугольнике нам известны:

• гипотенуза $MN = 12$ см;
• катет $NK = 6\sqrt{2}$ см (противолежащий искомому углу $\angle NMK$).

Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:$$ \sin(\angle NMK) = \frac{NK}{MN} = \frac{6\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$Отсюда находим величину угла:$$ \angle NMK = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ $$

Ответ: $45^\circ$.

Найдем угол, который образует отрезок MN с плоскостью $\beta$

Аналогично, найдем угол между отрезком $MN$ и плоскостью $\beta$.

Так как $ME \perp \beta$, то отрезок $NE$ является проекцией отрезка $MN$ на плоскость $\beta$. Следовательно, искомый угол — это $\angle MNE$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MNE$. Поскольку $ME \perp \beta$, то прямая $ME$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\beta$, в том числе и прямой $NE$. Это означает, что $\triangle MNE$ — прямоугольный с прямым углом $\angle MEN = 90^\circ$.

В этом треугольнике нам известны:

• гипотенуза $MN = 12$ см;
• катет $ME = 6$ см (противолежащий искомому углу $\angle MNE$).

Найдем синус угла $\angle MNE$:$$ \sin(\angle MNE) = \frac{ME}{MN} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$Отсюда находим величину угла:$$ \angle MNE = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ $$

Ответ: $30^\circ$.

138. Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle B = 90^\circ$) перегну-ли по его медиане $BM$ так, что плоскости $BAM$ и$BMC$ оказались перпендикулярными. Найдите рас-стояние между точками $A$ и $C$ в новом положении, ес-ли $AB = 12$ см, $\cos \angle BAM = \frac{3}{5}$.

1. Анализ исходного треугольника $ABC$.

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $B$ ($\angle B = 90^\circ$). Известно, что катет $AB = 12$ см и косинус угла $\angle BAM$ равен $3/5$. Поскольку $BM$ - медиана, точка $M$ лежит на гипотенузе $AC$, и угол $\angle BAM$ совпадает с углом $\angle BAC$ (или просто $\angle A$).

Таким образом, $\cos A = 3/5$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике $ABC$ найдем гипотенузу $AC$:$AC = \frac{AB}{\cos A} = \frac{12}{3/5} = 12 \cdot \frac{5}{3} = 20$ см.

Используя теорему Пифагора, найдем второй катет $BC$:$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см.

По свойству медианы, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, ее длина равна половине гипотенузы:$BM = AM = MC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см.

Итак, исходный треугольник $ABC$ разделен медианой $BM$ на два равнобедренных треугольника:

• $\triangle BAM$ со сторонами $AM = BM = 10$ см и $AB = 12$ см.
• $\triangle BMC$ со сторонами $BM = CM = 10$ см и $BC = 16$ см.

2. Анализ пространственной фигуры.

Треугольник перегнули по медиане $BM$ так, что плоскости $(BAM)$ и $(BMC)$ стали перпендикулярны. Требуется найти расстояние между точками $A$ и $C$ в новом положении. Для решения этой задачи опустим из точек $A$ и $C$ перпендикуляры $AH_A$ и $CH_C$ на линию сгиба $BM$.

В получившейся пространственной конфигурации расстояние $AC$ можно найти по обобщенной теореме Пифагора. Так как плоскости $(BAM)$ и $(BMC)$ перпендикулярны, то перпендикуляры $AH_A$ и $CH_C$ также перпендикулярны друг другу. Тогда квадрат искомого расстояния $AC$ равен сумме квадратов трех взаимно перпендикулярных отрезков: расстояния между основаниями высот $H_A H_C$ и длин самих высот $AH_A$ и $CH_C$.

$AC^2 = H_A H_C^2 + AH_A^2 + CH_C^2$

3. Вычисление высот и их оснований.

Найдем высоту $AH_A$ в треугольнике $BAM$. Его площадь можно вычислить по формуле Герона. Полупериметр $p_{BAM} = (10 + 10 + 12) / 2 = 16$ см.

$S_{BAM} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = 4 \cdot 6 \cdot 2 = 48$ см$^2$.

С другой стороны, площадь равна $S_{BAM} = \frac{1}{2} BM \cdot AH_A$. Отсюда:

$48 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot AH_A \implies AH_A = \frac{48}{5} = 9.6$ см.

Теперь найдем расстояние $MH_A$ от точки $M$ до основания высоты $H_A$. Из прямоугольного треугольника $AMH_A$:

$MH_A = \sqrt{AM^2 - AH_A^2} = \sqrt{10^2 - (9.6)^2} = \sqrt{100 - 92.16} = \sqrt{7.84} = 2.8$ см.

Аналогично для треугольника $BMC$. Полупериметр $p_{BMC} = (10 + 10 + 16) / 2 = 18$ см.

$S_{BMC} = \sqrt{18(18-10)(18-10)(18-16)} = \sqrt{18 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 2} = \sqrt{36 \cdot 64} = 6 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

$S_{BMC} = \frac{1}{2} BM \cdot CH_C \implies 48 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot CH_C \implies CH_C = \frac{48}{5} = 9.6$ см.

$MH_C = \sqrt{CM^2 - CH_C^2} = \sqrt{10^2 - (9.6)^2} = \sqrt{7.84} = 2.8$ см.

Важно определить положение точек $H_A$ и $H_C$ на прямой $BM$. В $\triangle BAM$ $AB^2 = 144 < AM^2 + BM^2 = 10^2 + 10^2 = 200$, значит, угол $\angle AMB$ острый, и основание высоты $H_A$ лежит на отрезке $BM$. В $\triangle BMC$ $BC^2 = 256 > BM^2 + CM^2 = 10^2+10^2 = 200$, значит, угол $\angle BMC$ тупой, и основание высоты $H_C$ лежит на продолжении отрезка $BM$ за точку $M$.

Следовательно, расстояние между основаниями высот $H_A$ и $H_C$ равно сумме их расстояний до точки $M$:

$H_A H_C = MH_A + MH_C = 2.8 + 2.8 = 5.6$ см.

4. Вычисление итогового расстояния $AC$.

Подставим найденные значения в формулу:

$AC^2 = H_A H_C^2 + AH_A^2 + CH_C^2 = (5.6)^2 + (9.6)^2 + (9.6)^2$

$AC^2 = 31.36 + 92.16 + 92.16 = 215.68$

$AC = \sqrt{215.68}$ см.

Для упрощения можно представить десятичные дроби в виде обыкновенных:

$H_A H_C = 5.6 = \frac{28}{5}$; $AH_A = CH_C = 9.6 = \frac{48}{5}$.

$AC^2 = (\frac{28}{5})^2 + (\frac{48}{5})^2 + (\frac{48}{5})^2 = \frac{28^2 + 48^2 + 48^2}{25} = \frac{784 + 2304 + 2304}{25} = \frac{5392}{25}$.

$AC = \sqrt{\frac{5392}{25}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 337}}{5} = \frac{4\sqrt{337}}{5}$ см.

Ответ: $\frac{4\sqrt{337}}{5}$ см.

139. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ квадрата $ABCD$. Квадрат перегнули по прямой $MN$ так, что плоскости прямоугольников $AMND$ и $BCNM$ оказались перпендикулярными (рис. 96). Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $MN$ в новом положении, если $AD = 4$ см.

Рис. 96

Введем прямоугольную систему координат. Пусть точка D совпадает с началом координат, ось Dx направлена по лучу DA, ось Dy — по лучу DN. После перегибания квадрата по прямой MN плоскость прямоугольника AMND совпадет с плоскостью Oxy. Так как плоскости прямоугольников AMND и BCNM перпендикулярны, то плоскость BCNM будет перпендикулярна плоскости Oxy.

В данной системе координат найдем координаты точек A, C, M, N. Поскольку AD = 4 см, а N — середина CD, то DN = 2 см. Аналогично, AM = 2 см. Точка D имеет координаты (0; 0; 0). Точка A лежит на оси Dx на расстоянии 4 от начала координат, следовательно, A(4; 0; 0). Точка N лежит на оси Dy на расстоянии 2 от начала координат, следовательно, N(0; 2; 0). Так как AMND — прямоугольник, координаты точки M будут M(4; 2; 0).

После перегибания прямоугольник BCNM оказывается в плоскости, перпендикулярной плоскости Oxy и проходящей через прямую MN. Точка C, которая в исходном квадрате имела бы координаты (0; 4; 0), перемещается. Ее расстояние от точки N равно NC = 2. В новом положении ее координаты будут C(0; 2; 2).

Теперь нам нужно найти расстояние между скрещивающимися прямыми AC и MN. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Найдем уравнение плоскости $\alpha$, которая проходит через прямую MN параллельно прямой AC. Направляющий вектор прямой MN: $\vec{v}_1 = \vec{MN} = \{0-4; 2-2; 0-0\} = \{-4; 0; 0\}$. Направляющий вектор прямой AC: $\vec{v}_2 = \vec{AC} = \{0-4; 2-0; 2-0\} = \{-4; 2; 2\}$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $\alpha$ будет перпендикулярен обоим векторам $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$. Найдем его как их векторное произведение: $\vec{n} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 0 & 0 \\ -4 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 2 - 0 \cdot 2) - \vec{j}(-4 \cdot 2 - 0 \cdot (-4)) + \vec{k}(-4 \cdot 2 - 0 \cdot (-4)) = 0\vec{i} + 8\vec{j} - 8\vec{k}$. Таким образом, $\vec{n} = \{0; 8; -8\}$. Для удобства можно использовать коллинеарный вектор $\vec{n'} = \{0; 1; -1\}$.

Плоскость $\alpha$ проходит через точку N(0; 2; 0) и имеет вектор нормали $\vec{n'} = \{0; 1; -1\}$. Ее уравнение: $0(x-0) + 1(y-2) - 1(z-0) = 0$ $y - 2 - z = 0$

Искомое расстояние между прямыми AC и MN равно расстоянию от любой точки прямой AC, например, от точки A(4; 0; 0), до плоскости $\alpha$. Воспользуемся формулой расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$: $\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ $\rho = \frac{|0 \cdot 4 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 - 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{1+1}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ см.

Ответ: $\sqrt{2}$ см.