Страница 88 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если она больше его измерений на 10 см, 8 см и 2 см.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a, b, c$, а его диагональ равна $d$.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трех измерений. Эта зависимость выражается формулой: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Согласно условию задачи, диагональ $d$ больше его измерений на 10 см, 8 см и 2 см. Это можно записать в виде системы уравнений: $d = a + 10$ $d = b + 8$ $d = c + 2$

Выразим измерения $a, b, c$ через диагональ $d$: $a = d - 10$ $b = d - 8$ $c = d - 2$

Подставим полученные выражения в формулу для квадрата диагонали: $d^2 = (d - 10)^2 + (d - 8)^2 + (d - 2)^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $d^2 = (d^2 - 2 \cdot d \cdot 10 + 10^2) + (d^2 - 2 \cdot d \cdot 8 + 8^2) + (d^2 - 2 \cdot d \cdot 2 + 2^2)$ $d^2 = (d^2 - 20d + 100) + (d^2 - 16d + 64) + (d^2 - 4d + 4)$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения: $d^2 = 3d^2 - 40d + 168$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $3d^2 - d^2 - 40d + 168 = 0$ $2d^2 - 40d + 168 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2: $d^2 - 20d + 84 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 20, а их произведение равно 84. Легко подобрать корни: $d_1 = 14$ и $d_2 = 6$. Либо можно решить через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 400 - 336 = 64$ $d = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{20 \pm 8}{2}$ $d_1 = \frac{20 + 8}{2} = \frac{28}{2} = 14$ $d_2 = \frac{20 - 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Мы получили два возможных значения для диагонали. Теперь нужно проверить, какое из них удовлетворяет условию задачи. Длины сторон параллелепипеда ($a, b, c$) должны быть положительными числами.

1. Проверим корень $d = 6$ см. $a = d - 10 = 6 - 10 = -4$ см. Длина не может быть отрицательной, поэтому этот корень не является решением задачи.

2. Проверим корень $d = 14$ см. $a = d - 10 = 14 - 10 = 4$ см. $b = d - 8 = 14 - 8 = 6$ см. $c = d - 2 = 14 - 2 = 12$ см. Все измерения имеют положительные значения, значит, это решение нам подходит.

Ответ: 14 см.

173. Площадь поверхности куба равна $54$ см$^2$. Найдите диагональ куба.

Для решения задачи нам нужно выполнить два шага: сначала найти длину ребра куба, используя данную площадь поверхности, а затем, зная длину ребра, вычислить диагональ куба.

1. Нахождение длины ребра куба.
Площадь полной поверхности куба ($S$) вычисляется как сумма площадей его шести граней. Каждая грань куба — это квадрат. Если обозначить длину ребра куба как $a$, то площадь одной грани будет $a^2$. Тогда формула для площади поверхности куба:
$S = 6a^2$
По условию, $S = 54$ см². Подставим это значение в формулу:
$54 = 6a^2$
Теперь решим это уравнение относительно $a$:
$a^2 = \frac{54}{6}$
$a^2 = 9$
$a = \sqrt{9} = 3$ см.
Таким образом, длина ребра куба равна 3 см.

2. Нахождение диагонали куба.
Диагональ куба ($d$) можно найти по формуле, которая связывает ее с длиной ребра $a$:
$d = a\sqrt{3}$
Мы уже нашли, что $a = 3$ см. Подставим это значение в формулу для диагонали:
$d = 3\sqrt{3}$ см.

Ответ: $3\sqrt{3}$ см.

174. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 4 см и 8 см, а угол между ними — $60^\circ$. Большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найдите высоту параллелепипеда.

Пусть стороны основания прямого параллелепипеда равны $a = 4$ см и $b = 8$ см, а угол между ними $\alpha = 60^\circ$. Основание представляет собой параллелограмм. У этого параллелограмма есть две диагонали: меньшая $d_1$ и большая $d_2$.

Для нахождения длин диагоналей основания воспользуемся теоремой косинусов. Меньшая диагональ $d_1$ лежит напротив острого угла $60^\circ$, а большая диагональ $d_2$ — напротив тупого угла $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Найдем квадрат меньшей диагонали основания $d_1$:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(60^\circ) = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 64 - 32 = 48$.

Найдем квадрат большей диагонали основания $d_2$:
$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ) = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 16 + 64 + 32 = 112$.

Таким образом, большая диагональ основания $d_2 = \sqrt{112}$ см.

Рассмотрим диагонали самого параллелепипеда. Так как параллелепипед прямой, его высота $h$ перпендикулярна основанию. Квадрат диагонали прямого параллелепипеда равен сумме квадрата соответствующей диагонали основания и квадрата высоты.

Меньшая диагональ параллелепипеда $D_1$ соответствует меньшей диагонали основания $d_1$. Ее квадрат равен:
$D_1^2 = d_1^2 + h^2$.

По условию задачи, большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда: $d_2 = D_1$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат: $d_2^2 = D_1^2$.

Теперь подставим известные выражения:
$d_2^2 = d_1^2 + h^2$.

Отсюда можем найти квадрат высоты $h^2$:
$h^2 = d_2^2 - d_1^2$.

Подставим числовые значения, которые мы нашли ранее:
$h^2 = 112 - 48 = 64$.

Следовательно, высота параллелепипеда равна:
$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

176. Основанием параллелепипеда является ромб с углом $60^\circ$. Боковое ребро, выходящее из вершины этого угла, образует с каждой из его сторон угол $60^\circ$. Найдите высоту параллелепипеда, если его боковое ребро равно 18 см.

Пусть основанием параллелепипеда является ромб $ABCD$, в котором $\angle BAD = 60^\circ$. Пусть боковое ребро, выходящее из вершины $A$, будет $AA'$. По условию, длина бокового ребра $|AA'| = 18$ см, и оно образует со сторонами $AB$ и $AD$ углы, равные $60^\circ$, то есть $\angle A'AB = 60^\circ$ и $\angle A'AD = 60^\circ$. Высота параллелепипеда $H$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A'$ на плоскость основания $ABCD$.

Для решения задачи введем декартову систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AD$. Так как основание — ромб, все его стороны равны. Обозначим длину стороны ромба как $a$.

Координаты вершин основания:

• $A(0, 0, 0)$
• Поскольку $AD$ лежит на оси $Ox$, то вектор $\vec{AD}$ имеет координаты $(a, 0, 0)$.
• Угол $\angle BAD = 60^\circ$, поэтому вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(a \cos 60^\circ, a \sin 60^\circ, 0)$, что равно $(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Пусть точка $A'$ имеет координаты $(x, y, z)$. Тогда вектор $\vec{AA'}$ имеет координаты $(x, y, z)$. Высота параллелепипеда $H$ будет равна координате $z$ точки $A'$ (при условии, что $z > 0$).

Мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами.

1. Для векторов $\vec{AA'}$ и $\vec{AD}$:
$\vec{AA'} \cdot \vec{AD} = |\vec{AA'}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\angle A'AD)$
$x \cdot a + y \cdot 0 + z \cdot 0 = 18 \cdot a \cdot \cos 60^\circ$
$xa = 18a \cdot \frac{1}{2}$
$xa = 9a$
Так как $a \neq 0$, то $x = 9$.

2. Для векторов $\vec{AA'}$ и $\vec{AB}$:
$\vec{AA'} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA'}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(\angle A'AB)$
$x \cdot \frac{a}{2} + y \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} + z \cdot 0 = 18 \cdot a \cdot \cos 60^\circ$
$\frac{xa}{2} + \frac{ya\sqrt{3}}{2} = 18a \cdot \frac{1}{2}$
$\frac{a}{2}(x + y\sqrt{3}) = 9a$
Разделив обе части на $\frac{a}{2}$ (так как $a \neq 0$), получаем:
$x + y\sqrt{3} = 18$

Теперь у нас есть система уравнений для $x$ и $y$:
$x = 9$
$x + y\sqrt{3} = 18$
Подставим значение $x$ во второе уравнение:
$9 + y\sqrt{3} = 18$
$y\sqrt{3} = 9$
$y = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$

Длина бокового ребра $AA'$ равна 18 см, что соответствует длине вектора $\vec{AA'}$.
$|\vec{AA'}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 18^2 = 324$
Подставим найденные значения $x$ и $y$:
$9^2 + (3\sqrt{3})^2 + z^2 = 324$
$81 + (9 \cdot 3) + z^2 = 324$
$81 + 27 + z^2 = 324$
$108 + z^2 = 324$
$z^2 = 324 - 108 = 216$
Высота $H = z = \sqrt{216}$. Упростим корень:
$\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6}$

Таким образом, высота параллелепипеда равна $6\sqrt{6}$ см.

Ответ: $6\sqrt{6}$ см.

180. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если оно образует с плоскостью основания угол $45^\circ$.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, где в основании лежит квадрат ABCD, а S — её вершина. Сторона основания $a = AB = 4$ см.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между самим ребром и его проекцией на эту плоскость. Высота правильной пирамиды SO опускается в центр основания O (точку пересечения диагоналей квадрата). Таким образом, проекцией бокового ребра SC на плоскость основания является отрезок OC. По условию, угол между ребром SC и его проекцией OC составляет $45^\circ$, то есть $\angle SCO = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC (так как SO — высота, $\angle SOC = 90^\circ$). Чтобы найти боковое ребро SC (гипотенузу этого треугольника), нам нужно сначала найти длину катета OC.

OC является половиной диагонали AC квадрата ABCD. Найдем длину диагонали AC по теореме Пифагора из треугольника ABC:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$
$AC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Так как диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, то:
$OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике SOC мы знаем катет $OC = 2\sqrt{2}$ см и прилежащий к нему угол $\angle SCO = 45^\circ$. Найдем гипотенузу SC (боковое ребро) через косинус угла:
$\cos(\angle SCO) = \frac{OC}{SC}$
Отсюда, $SC = \frac{OC}{\cos(\angle SCO)} = \frac{2\sqrt{2}}{\cos(45^\circ)}$.

Поскольку $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$SC = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 4$ см.

Также можно заметить, что так как в прямоугольном треугольнике SOC один из острых углов равен $45^\circ$, то и второй острый угол $\angle CSO = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это значит, что треугольник SOC — равнобедренный, и $SO = OC = 2\sqrt{2}$ см. Тогда по теореме Пифагора:
$SC^2 = SO^2 + OC^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 8 + 8 = 16$.
$SC = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.