Номер 174, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

174. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 4 см и 8 см, а угол между ними — $60^\circ$. Большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найдите высоту параллелепипеда.

Пусть стороны основания прямого параллелепипеда равны $a = 4$ см и $b = 8$ см, а угол между ними $\alpha = 60^\circ$. Основание представляет собой параллелограмм. У этого параллелограмма есть две диагонали: меньшая $d_1$ и большая $d_2$.

Для нахождения длин диагоналей основания воспользуемся теоремой косинусов. Меньшая диагональ $d_1$ лежит напротив острого угла $60^\circ$, а большая диагональ $d_2$ — напротив тупого угла $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Найдем квадрат меньшей диагонали основания $d_1$:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(60^\circ) = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 64 - 32 = 48$.

Найдем квадрат большей диагонали основания $d_2$:
$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ) = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 16 + 64 + 32 = 112$.

Таким образом, большая диагональ основания $d_2 = \sqrt{112}$ см.

Рассмотрим диагонали самого параллелепипеда. Так как параллелепипед прямой, его высота $h$ перпендикулярна основанию. Квадрат диагонали прямого параллелепипеда равен сумме квадрата соответствующей диагонали основания и квадрата высоты.

Меньшая диагональ параллелепипеда $D_1$ соответствует меньшей диагонали основания $d_1$. Ее квадрат равен:
$D_1^2 = d_1^2 + h^2$.

По условию задачи, большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда: $d_2 = D_1$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат: $d_2^2 = D_1^2$.

Теперь подставим известные выражения:
$d_2^2 = d_1^2 + h^2$.

Отсюда можем найти квадрат высоты $h^2$:
$h^2 = d_2^2 - d_1^2$.

Подставим числовые значения, которые мы нашли ранее:
$h^2 = 112 - 48 = 64$.

Следовательно, высота параллелепипеда равна:
$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.