Номер 171, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если она больше его измерений на 10 см, 8 см и 2 см.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a, b, c$, а его диагональ равна $d$.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трех измерений. Эта зависимость выражается формулой: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Согласно условию задачи, диагональ $d$ больше его измерений на 10 см, 8 см и 2 см. Это можно записать в виде системы уравнений: $d = a + 10$ $d = b + 8$ $d = c + 2$

Выразим измерения $a, b, c$ через диагональ $d$: $a = d - 10$ $b = d - 8$ $c = d - 2$

Подставим полученные выражения в формулу для квадрата диагонали: $d^2 = (d - 10)^2 + (d - 8)^2 + (d - 2)^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $d^2 = (d^2 - 2 \cdot d \cdot 10 + 10^2) + (d^2 - 2 \cdot d \cdot 8 + 8^2) + (d^2 - 2 \cdot d \cdot 2 + 2^2)$ $d^2 = (d^2 - 20d + 100) + (d^2 - 16d + 64) + (d^2 - 4d + 4)$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения: $d^2 = 3d^2 - 40d + 168$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $3d^2 - d^2 - 40d + 168 = 0$ $2d^2 - 40d + 168 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2: $d^2 - 20d + 84 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 20, а их произведение равно 84. Легко подобрать корни: $d_1 = 14$ и $d_2 = 6$. Либо можно решить через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 400 - 336 = 64$ $d = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{20 \pm 8}{2}$ $d_1 = \frac{20 + 8}{2} = \frac{28}{2} = 14$ $d_2 = \frac{20 - 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Мы получили два возможных значения для диагонали. Теперь нужно проверить, какое из них удовлетворяет условию задачи. Длины сторон параллелепипеда ($a, b, c$) должны быть положительными числами.

1. Проверим корень $d = 6$ см. $a = d - 10 = 6 - 10 = -4$ см. Длина не может быть отрицательной, поэтому этот корень не является решением задачи.

2. Проверим корень $d = 14$ см. $a = d - 10 = 14 - 10 = 4$ см. $b = d - 8 = 14 - 8 = 6$ см. $c = d - 2 = 14 - 2 = 12$ см. Все измерения имеют положительные значения, значит, это решение нам подходит.

Ответ: 14 см.