Номер 164, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. В правильной четырёхугольной призме $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ сторона основания равна $8\sqrt{2}$ см, а боковое ребро — 3 см. Через диагональ $BD$ нижнего основания и середину стороны $B_1 C_1$ верхнего основания проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основанием призмы является квадрат $ABCD$ со стороной $a = 8\sqrt{2}$ см. Боковое ребро призмы равно $h = 3$ см. Секущая плоскость проходит через диагональ нижнего основания $BD$ и точку $M$ — середину стороны $B_1C_1$ верхнего основания.

Поскольку плоскости оснований $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны, секущая плоскость пересекает верхнее основание по прямой, параллельной линии её пересечения с нижним основанием, то есть прямой $BD$. Проведём через точку $M$ прямую, параллельную диагонали $B_1D_1$ (которая, в свою очередь, параллельна $BD$). Эта прямая пересечёт ребро $C_1D_1$ в его середине, точке $N$. Таким образом, искомое сечение — четырёхугольник $BDNM$.

Так как $MN \parallel BD$ по построению, четырёхугольник $BDNM$ является трапецией. Найдём длины её боковых сторон $BM$ и $DN$. В прямоугольном треугольнике $BB_1M$ (угол $B_1$ прямой, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию), катет $BB_1 = 3$ см, а катет $B_1M = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см. По теореме Пифагора: $BM^2 = BB_1^2 + B_1M^2 = 3^2 + (4\sqrt{2})^2 = 9 + 16 \cdot 2 = 9 + 32 = 41$. $BM = \sqrt{41}$ см.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $DD_1N'$, где $N'$ - проекция точки $N$ на ребро $CD$. Более просто воспользоваться симметрией. Призма правильная, а точки $M$ и $N$ — середины соответствующих рёбер. В силу симметрии относительно плоскости $ACC_1A_1$, имеем $DN = BM = \sqrt{41}$ см. Так как боковые стороны трапеции равны, трапеция $BDNM$ является равнобедренной.

Большее основание $BD$ — это диагональ квадрата $ABCD$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. $BD = (8\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Меньшее основание $MN$ соединяет середины сторон $B_1C_1$ и $C_1D_1$. В треугольнике $B_1C_1D_1$ отрезок $MN$ является средней линией, параллельной стороне $B_1D_1$. $MN = \frac{1}{2} B_1D_1 = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Высоту $h'$ равнобедренной трапеции $BDNM$ удобно найти как расстояние между серединами её оснований. Пусть $O$ — середина $BD$ (центр нижнего основания), а $P$ — середина $MN$. Тогда высота $h' = OP$.

Чтобы найти длину отрезка $OP$, рассмотрим его проекции на горизонтальную и вертикальную оси. Вертикальная проекция $OP$ равна высоте призмы, то есть 3 см. Горизонтальная проекция $OP$ равна расстоянию между проекциями точек $O$ и $P$ на плоскость основания $ABCD$. Проекцией точки $O$ является сама точка $O$. Проекцией точки $P$ (середины $MN$) является точка $P'$ (середина отрезка $M'N'$, где $M'$ и $N'$ — середины рёбер $BC$ и $CD$ соответственно).

Найдём расстояние $OP'$. В плоскости основания $ABCD$ точки $O, C, M', N'$ образуют следующую конфигурацию: $O$ — центр квадрата, $M'$ — середина $BC$, $N'$ — середина $CD$, $P'$ — середина $M'N'$. Расстояние $OC$ равно половине диагонали, то есть $OC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см. В треугольнике $CM'N'$ отрезок $CP'$ является медианой к гипотенузе, поэтому $CP' = \frac{1}{2} M'N'$. $M'N' = \frac{1}{2} BD = 8$ см, значит $CP' = 4$ см. Точка $P'$ лежит на диагонали $AC$. Тогда расстояние $OP' = OC - CP' = 8 - 4 = 4$ см.

Теперь мы можем найти высоту трапеции $h' = OP$ по теореме Пифагора в пространстве, используя её вертикальную (3 см) и горизонтальную (4 см) проекции: $h'^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. $h' = \sqrt{25} = 5$ см.

Площадь трапеции $BDNM$ вычисляется по формуле: $S = \frac{BD + MN}{2} \cdot h'$ Подставим найденные значения: $S = \frac{16 + 8}{2} \cdot 5 = \frac{24}{2} \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60$ см$^2$.

Ответ: 60 см$^2$.