Номер 161, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, основание которого равно 12 см, а боковая сторона — $3\sqrt{6}$ см. Через боковую сторону основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро призмы. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если угол между плоскостью её основания и плоскостью сечения равен $45^\circ$.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, в основании которой лежит равнобедренный треугольник $ABC$. По условию, основание треугольника $AC = 12$ см, а боковые стороны $AB = BC = 3\sqrt{6}$ см.

Секущая плоскость проходит через боковую сторону основания, например $BC$, и пересекает противоположное боковое ребро $AA_1$ в некоторой точке $K$. Таким образом, сечением является треугольник $KBC$.

Площадь ортогональной проекции фигуры на плоскость связана с площадью самой фигуры через косинус угла между их плоскостями. В данном случае, треугольник $ABC$ (основание призмы) является ортогональной проекцией треугольника $KBC$ (сечения) на плоскость основания.

Формула, связывающая площадь сечения ($S_{сеч}$) и площадь его проекции ($S_{пр}$), выглядит так: $S_{пр} = S_{сеч} \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

В нашей задаче $S_{пр} = S_{ABC}$, $S_{сеч} = S_{KBC}$, а угол $\alpha = 45^\circ$. Следовательно, площадь сечения можно найти по формуле: $S_{сеч} = \frac{S_{ABC}}{\cos(45^\circ)}$

1. Найдем площадь основания призмы — треугольника $ABC$.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $BH$ к основанию $AC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BH$ является также и медианой. Значит, точка $H$ — середина $AC$. $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем длину высоты $BH$: $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{(3\sqrt{6})^2 - 6^2} = \sqrt{9 \cdot 6 - 36} = \sqrt{54 - 36} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$ см².

2. Найдем площадь сечения.

Используем найденную площадь основания и данный угол: $S_{сеч} = \frac{S_{ABC}}{\cos(45^\circ)} = \frac{18\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{18\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 18 \cdot 2 = 36$ см².

Ответ: 36 см².