Страница 91 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 4 см, а диагонали делят острые углы трапеции пополам. Найдите высоту пирамиды, если острый угол трапеции равен $60^\circ$, а каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

Пусть основанием пирамиды является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По условию, боковая сторона равна 4 см, то есть $AB = CD = 4$ см. Острый угол трапеции равен $60°$, пусть это будут углы при большем основании: $\angle A = \angle D = 60°$.

Диагонали трапеции делят острые углы пополам. Рассмотрим диагональ $AC$, которая делит угол $A$. Тогда $\angle BAC = \angle CAD = 60° / 2 = 30°$.

Так как $AD$ и $BC$ — основания трапеции, то $BC \parallel AD$. Прямая $AC$ является секущей. Углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются внутренними накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle BCA = \angle CAD = 30°$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $\angle BAC = 30°$ и $\angle BCA = 30°$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и $BC = AB = 4$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Мы знаем $\angle CAD = 30°$ и $\angle D = 60°$. Тогда $\angle ACD = 180° - 30° - 60° = 90°$. Таким образом, треугольник $ACD$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $ACD$ (с прямым углом $C$) мы можем найти длину большего основания $AD$ и диагонали $AC$ с помощью тригонометрических соотношений.$CD = AD \cdot \cos(60°)$, откуда $AD = CD / \cos(60°) = 4 / (1/2) = 8$ см.$AC = AD \cdot \sin(60°) = 8 \cdot (\sqrt{3}/2) = 4\sqrt{3}$ см.

По условию, каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $30°$. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около основания. Расстояние от центра описанной окружности до любой вершины трапеции равно радиусу $R$ этой окружности. Таким образом, $OA = OB = OC = OD = R$.

Описанная окружность для трапеции $ABCD$ является также описанной окружностью для треугольника $ACD$. Поскольку треугольник $ACD$ — прямоугольный, центр его описанной окружности лежит на середине гипотенузы $AD$. Радиус этой окружности равен половине гипотенузы:$R = AD / 2 = 8 / 2 = 4$ см.

Теперь найдем высоту пирамиды $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $SO=H$ — высота пирамиды, $OA=R$ — радиус описанной окружности, а угол $\angle SAO = 30°$ — угол между боковым ребром и плоскостью основания.Из этого треугольника:$H = SO = OA \cdot \tan(\angle SAO) = R \cdot \tan(30°)$.$H = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

202. Основанием пирамиды является прямоугольная трапеция, основания которой равны 14 см и 35 см, а большая боковая сторона — 29 см. Каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольная трапеция ABCD, где AD и BC — параллельные основания, а AB — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. По условию задачи имеем: меньшее основание $BC = 14 \text{ см}$, большее основание $AD = 35 \text{ см}$, большая боковая сторона $CD = 29 \text{ см}$, а все двугранные углы при ребрах основания равны $\alpha = 60^\circ$.

Нахождение параметров основания (трапеции)

Для решения задачи нам понадобится площадь основания. Сначала найдем высоту трапеции. Проведем высоту CH из вершины C на основание AD. Так как трапеция прямоугольная, то ABCH — прямоугольник, следовательно $AH = BC = 14 \text{ см}$ и высота трапеции $h = CH = AB$. Длина отрезка HD на большем основании равна разности длин оснований: $HD = AD - AH = 35 - 14 = 21 \text{ см}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. По теореме Пифагора: $CH^2 + HD^2 = CD^2$ $h^2 + 21^2 = 29^2$ $h^2 = 29^2 - 21^2 = (29 - 21)(29 + 21) = 8 \cdot 50 = 400$ $h = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$.

Таким образом, высота трапеции $h$ (и ее меньшая боковая сторона AB) равна 20 см. Теперь можем вычислить площадь основания ($S_{осн}$): $S_{осн} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{35 + 14}{2} \cdot 20 = \frac{49}{2} \cdot 20 = 49 \cdot 10 = 490 \text{ см}^2$.

Нахождение площади боковой поверхности пирамиды

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания равны, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Для таких пирамид площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) связана с площадью основания ($S_{осн}$) и величиной двугранного угла ($\alpha$) формулой: $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$.

Проверим, выполняется ли условие для существования вписанной окружности в данной трапеции. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Сумма оснований: $AD + BC = 35 + 14 = 49 \text{ см}$. Сумма боковых сторон: $AB + CD = 20 + 29 = 49 \text{ см}$. Так как $49 = 49$, в трапецию можно вписать окружность, и использование формулы является корректным.

Подставляем известные значения в формулу: $S_{осн} = 490 \text{ см}^2$ и $\alpha = 60^\circ$. $S_{бок} = \frac{490}{\cos(60^\circ)} = \frac{490}{1/2} = 490 \cdot 2 = 980 \text{ см}^2$.

Ответ: $980 \text{ см}^2$.

203. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при вершине и радиусом описанной окружности $R$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\beta$.

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $\beta$, вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности основания.

Площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$) связана с площадью ее основания ($S_{осн}$) через двугранный угол $\beta$ при ребре основания по формуле:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \beta}$

Следовательно, задача сводится к нахождению площади основания — равнобедренного треугольника с углом $\alpha$ при вершине и радиусом описанной окружности $R$.

Пусть основанием является равнобедренный треугольник $ABC$ с $AB=AC$. Угол при вершине $\angle A = \alpha$. Тогда углы при основании равны:

$\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$

Найдем стороны треугольника, используя теорему синусов. Для стороны $a$ (противолежащей углу $\alpha$) и боковой стороны $b$:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R \Rightarrow a = 2R \sin \alpha$

$\frac{b}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})} = 2R \Rightarrow b = 2R \sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 2R \cos(\frac{\alpha}{2})$

Площадь треугольника $S_{осн}$ можно найти по формуле через две стороны и угол между ними:

$S_{осн} = \frac{1}{2} b \cdot b \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} b^2 \sin \alpha$

Подставим выражение для стороны $b$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} (2R \cos(\frac{\alpha}{2}))^2 \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \sin \alpha = 2R^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \sin \alpha$

Используем тригонометрические формулы двойного угла $\sin \alpha = 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$ и понижения степени $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1+\cos \alpha}{2}$:

$S_{осн} = 2R^2 \left(\frac{1+\cos \alpha}{2}\right) \sin \alpha = R^2 \sin \alpha (1+\cos \alpha)$

Теперь, зная площадь основания, найдем площадь боковой поверхности пирамиды:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \beta} = \frac{R^2 \sin \alpha (1+\cos \alpha)}{\cos \beta}$

Ответ: $ \frac{R^2 \sin \alpha (1+\cos \alpha)}{\cos \beta} $

204. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 8 см, а острый угол — 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен 30°.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади ее основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $30°$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Также для такой пирамиды справедлива формула, связывающая площадь боковой поверхности и площадь основания:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(\alpha)}$

где $\alpha$ — двугранный угол при ребре основания. В нашем случае $\alpha = 30°$.

Таким образом, задача сводится к нахождению площади основания $S_{осн}$.

1. Нахождение параметров и площади основания (равнобокой трапеции)

Основанием является равнобокая трапеция. Пусть ее боковая сторона равна $c = 8$ см, а острый угол при основании равен $60°$.

Поскольку в основание пирамиды можно вписать окружность, то для этой трапеции выполняется свойство: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$. Тогда:

$a + b = c + c = 2c = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Найдем высоту трапеции $h$. Опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона $c$, а одним из углов — острый угол трапеции $60°$.

$h = c \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти площадь трапеции (основания пирамиды):

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 8 \cdot 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см².

2. Нахождение площади боковой и полной поверхности пирамиды

Теперь, зная площадь основания, найдем площадь боковой поверхности, используя двугранный угол $\alpha = 30°$:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos(30°)} = \frac{32\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 32\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 64$ см².

Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 32\sqrt{3} + 64$ см².

Можно вынести общий множитель за скобки для более компактной записи:

$S_{полн} = 32(2 + \sqrt{3})$ см².

Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды равна $64 + 32\sqrt{3}$ см² или $32(2 + \sqrt{3})$ см².

205. Боковые грани $MBA$ и $MBC$ пирамиды $MABC$ перпендикулярны плоскости основания, а угол между плоскостями $AMC$ и $ABC$ равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle ABC = 60^\circ$, $AB = 8$ см.

Поскольку боковые грани $MBA$ и $MBC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$, то их линия пересечения, ребро $MB$, также перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, $MB$ является высотой пирамиды, то есть $MB \perp (ABC)$. Из этого следует, что $MB \perp AB$ и $MB \perp BC$. Таким образом, треугольники $MBA$ и $MBC$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $B$.

Рассмотрим основание пирамиды — прямоугольный треугольник $ABC$ ($∠ACB = 90°$). Из условия известны гипотенуза $AB = 8$ см и угол $∠ABC = 60°$. Найдем длины катетов:
$BC = AB \cdot \cos(∠ABC) = 8 \cdot \cos(60°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.
$AC = AB \cdot \sin(∠ABC) = 8 \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Угол между плоскостями $AMC$ и $ABC$ — это двугранный угол при ребре $AC$. Для нахождения его линейного угла построим перпендикуляры к ребру $AC$ в каждой из плоскостей, исходящие из одной точки.
В плоскости основания $ABC$ катет $BC$ перпендикулярен катету $AC$, так как $∠ACB = 90°$.
Поскольку $MB$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, $MC$ — наклонная, а $BC$ — ее проекция на эту плоскость. Так как проекция $BC$ перпендикулярна прямой $AC$, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $MC$ перпендикулярна $AC$ ($MC \perp AC$).
Следовательно, линейным углом двугранного угла между плоскостями $AMC$ и $ABC$ является угол $∠MCB$. По условию задачи, $∠MCB = 45°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MBC$ ($∠MBC = 90°$). Мы знаем, что $BC = 4$ см и $∠MCB = 45°$. Это означает, что треугольник $MBC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его катеты равны:
$MB = BC = 4$ см.

Теперь мы можем найти площади боковых граней. Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей граней $MBA$, $MBC$ и $AMC$.
1. Площадь грани $MBA$ (прямоугольный треугольник, $∠MBA = 90°$):
$S_{MBA} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$ см².
2. Площадь грани $MBC$ (прямоугольный треугольник, $∠MBC = 90°$):
$S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ см².
3. Площадь грани $AMC$. Мы доказали, что $MC \perp AC$, следовательно, треугольник $AMC$ — прямоугольный ($∠MCA = 90°$). Найдем длину гипотенузы $MC$ из прямоугольного треугольника $MBC$:
$MC^2 = MB^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$.
$MC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.
Теперь найдем площадь $S_{AMC}$:
$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{6} = 8\sqrt{6}$ см².

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей этих трех граней:
$S_{бок} = S_{MBA} + S_{MBC} + S_{AMC} = 16 + 8 + 8\sqrt{6} = 24 + 8\sqrt{6} = 8(3 + \sqrt{6})$ см².

Ответ: $8(3 + \sqrt{6})$ см².

206. Боковые грани DAC и DBC пирамиды DABC перпендикулярны плоскости основания, $AB = 11 \text{ см}$, $AC = 25 \text{ см}$, $BC = 30 \text{ см}$, $DC = 10 \text{ см}$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей трех ее боковых граней: $\triangle DAC$, $\triangle DBC$ и $\triangle DAB$.

$S_{бок} = S_{\triangle DAC} + S_{\triangle DBC} + S_{\triangle DAB}$

1. Анализ условия перпендикулярности граней

По условию, боковые грани $DAC$ и $DBC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две плоскости, пересекающиеся по прямой, перпендикулярны третьей плоскости, то и линия их пересечения перпендикулярна этой плоскости. Грани $DAC$ и $DBC$ пересекаются по ребру $DC$, следовательно, ребро $DC$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Это означает, что $DC$ является высотой пирамиды, а треугольники $\triangle DAC$ и $\triangle DBC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $C$.

2. Вычисление площадей граней $\triangle DAC$ и $\triangle DBC$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Используя данные $AC = 25$ см, $BC = 30$ см и $DC = 10$ см, находим:
$S_{\triangle DAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 10 = 125 \text{ см}^2$.
$S_{\triangle DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 10 = 150 \text{ см}^2$.

3. Вычисление площади грани $\triangle DAB$

Для вычисления площади $S_{\triangle DAB}$ найдем длину ее высоты $DH$, проведенной к стороне $AB$. Для этого сначала найдем высоту $CH$ в треугольнике основания $ABC$, проведенную к стороне $AB$. Вычислим площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона.
Полупериметр $p$ треугольника $ABC$ со сторонами $AB=11$ см, $AC=25$ см, $BC=30$ см:
$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{11 + 25 + 30}{2} = \frac{66}{2} = 33$ см.
Площадь $S_{\triangle ABC}$:
$S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} = \sqrt{33(33-11)(33-25)(33-30)} = \sqrt{33 \cdot 22 \cdot 8 \cdot 3} = \sqrt{(3 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 11) \cdot (2^3) \cdot 3} = \sqrt{3^2 \cdot 11^2 \cdot 2^4} = 3 \cdot 11 \cdot 2^2 = 132 \text{ см}^2$.
Теперь найдем высоту $CH$ из формулы площади:
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \implies CH = \frac{2 \cdot S_{\triangle ABC}}{AB} = \frac{2 \cdot 132}{11} = 24$ см.
Так как $DC \perp (ABC)$, то $DC \perp CH$, и треугольник $\triangle DCH$ является прямоугольным. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость ($CH$) перпендикулярна прямой на плоскости ($AB$), то и сама наклонная ($DH$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $DH$ является высотой в треугольнике $\triangle DAB$. Найдем $DH$ по теореме Пифагора в прямоугольном $\triangle DCH$ :
$DH = \sqrt{DC^2 + CH^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ см.
Вычислим площадь грани $\triangle DAB$:
$S_{\triangle DAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 26 = 143 \text{ см}^2$.

4. Вычисление общей площади боковой поверхности

Суммируем площади всех боковых граней, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды:
$S_{бок} = S_{\triangle DAC} + S_{\triangle DBC} + S_{\triangle DAB} = 125 + 150 + 143 = 418 \text{ см}^2$.

Ответ: $418 \text{ см}^2$.

207. Основанием пирамиды является квадрат. Две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а каждая из двух других образует с ней угол $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если её среднее по длине боковое ребро равно 2 см.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ – квадрат в основании. По условию, две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Пусть это будут грани $(SAB)$ и $(SAD)$. Если две плоскости, проходящие через прямую $SA$, перпендикулярны третьей плоскости (основанию $ABCD$), то их линия пересечения $SA$ также перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, ребро $SA$ является высотой пирамиды, то есть $SA \perp (ABCD)$.

Из того, что $SA$ – высота, следует, что треугольники $\triangle SAB$ и $\triangle SAD$ – прямоугольные, с прямыми углами при вершине $A$.

Две другие грани, $(SBC)$ и $(SDC)$, образуют с плоскостью основания угол $45^\circ$. Угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания – это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями.

• Для грани $(SBC)$ и основания $(ABCD)$ линией пересечения является $BC$. Так как $ABCD$ – квадрат, то $AB \perp BC$. $SA$ – перпендикуляр к плоскости основания, $SB$ – наклонная, а $AB$ – её проекция. По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $AB$ перпендикулярна $BC$, то и наклонная $SB$ перпендикулярна $BC$. Значит, $\angle SBA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $(SBC)$ и основанием. По условию, $\angle SBA = 45^\circ$.
• Аналогично для грани $(SDC)$. Линия пересечения – $DC$. $AD \perp DC$. $SD$ – наклонная, $AD$ – её проекция. По теореме о трех перпендикулярах, $SD \perp DC$. Значит, $\angle SDA$ является линейным углом двугранного угла, и $\angle SDA = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAB$. Так как $\angle SBA = 45^\circ$, то он является равнобедренным, и $SA = AB$. Обозначим сторону квадрата $AB$ через $a$. Тогда высота пирамиды $SA = a$.

Найдем длины всех боковых ребер пирамиды, выраженные через $a$:
1. $SA = a$.
2. В прямоугольном $\triangle SAB$: $SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
3. В прямоугольном $\triangle SAD$: $SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
4. Диагональ основания $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. В прямоугольном $\triangle SAC$: $SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Мы получили четыре боковых ребра с длинами $a$, $a\sqrt{2}$, $a\sqrt{2}$ и $a\sqrt{3}$. Упорядочив их по возрастанию, получим: $a < a\sqrt{2} < a\sqrt{3}$. Средним по длине является ребро длиной $a\sqrt{2}$. По условию, его длина равна 2 см.
$a\sqrt{2} = 2 \implies a = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды, которая равна сумме площадей четырех боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SAD} + S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SDC}$.

• $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ см².
• $S_{\triangle SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AD = \frac{1}{2} a^2 = 1$ см².
• $\triangle SBC$ – прямоугольный (так как $SB \perp BC$). $S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2}\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 = \sqrt{2}$ см².
• $\triangle SDC$ – прямоугольный (так как $SD \perp DC$). $S_{\triangle SDC} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot SD = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a\sqrt{2}) = \sqrt{2}$ см².

Суммарная площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 1 + 1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2} = 2(1 + \sqrt{2})$ см².

Ответ: $2(1 + \sqrt{2}) \text{ см}^2$.