Номер 201, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 4 см, а диагонали делят острые углы трапеции пополам. Найдите высоту пирамиды, если острый угол трапеции равен $60^\circ$, а каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

Пусть основанием пирамиды является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По условию, боковая сторона равна 4 см, то есть $AB = CD = 4$ см. Острый угол трапеции равен $60°$, пусть это будут углы при большем основании: $\angle A = \angle D = 60°$.

Диагонали трапеции делят острые углы пополам. Рассмотрим диагональ $AC$, которая делит угол $A$. Тогда $\angle BAC = \angle CAD = 60° / 2 = 30°$.

Так как $AD$ и $BC$ — основания трапеции, то $BC \parallel AD$. Прямая $AC$ является секущей. Углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются внутренними накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle BCA = \angle CAD = 30°$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $\angle BAC = 30°$ и $\angle BCA = 30°$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и $BC = AB = 4$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Мы знаем $\angle CAD = 30°$ и $\angle D = 60°$. Тогда $\angle ACD = 180° - 30° - 60° = 90°$. Таким образом, треугольник $ACD$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $ACD$ (с прямым углом $C$) мы можем найти длину большего основания $AD$ и диагонали $AC$ с помощью тригонометрических соотношений.$CD = AD \cdot \cos(60°)$, откуда $AD = CD / \cos(60°) = 4 / (1/2) = 8$ см.$AC = AD \cdot \sin(60°) = 8 \cdot (\sqrt{3}/2) = 4\sqrt{3}$ см.

По условию, каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $30°$. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около основания. Расстояние от центра описанной окружности до любой вершины трапеции равно радиусу $R$ этой окружности. Таким образом, $OA = OB = OC = OD = R$.

Описанная окружность для трапеции $ABCD$ является также описанной окружностью для треугольника $ACD$. Поскольку треугольник $ACD$ — прямоугольный, центр его описанной окружности лежит на середине гипотенузы $AD$. Радиус этой окружности равен половине гипотенузы:$R = AD / 2 = 8 / 2 = 4$ см.

Теперь найдем высоту пирамиды $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $SO=H$ — высота пирамиды, $OA=R$ — радиус описанной окружности, а угол $\angle SAO = 30°$ — угол между боковым ребром и плоскостью основания.Из этого треугольника:$H = SO = OA \cdot \tan(\angle SAO) = R \cdot \tan(30°)$.$H = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.