Номер 200, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

200. Основанием пирамиды $SABC$ является треугольник $ABC$, в котором $\angle A = 150^\circ$, $BC = 16$ см. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания пирамиды угол $45^\circ$. Найдите боковые рёбра пирамиды.

Пусть $S$ - вершина пирамиды, а $SO$ - ее высота, где $O$ - проекция вершины $S$ на плоскость основания $ABC$.

Угол между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания - это угол между этим ребром и его проекцией на плоскость ($OA$). По условию, каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Это означает, что углы между боковыми ребрами и их проекциями на основание равны $45^\circ$:

$\angle SAO = \angle SBO = \angle SCO = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA$, $\triangle SOB$ и $\triangle SOC$ (они прямоугольные, так как $SO$ - перпендикуляр к плоскости $ABC$).

Поскольку в этих треугольниках один из острых углов равен $45^\circ$, то они являются равнобедренными прямоугольными треугольниками. Отсюда следует, что катеты, прилежащие к прямому углу, равны:

$SO = OA$

$SO = OB$

$SO = OC$

Из этого следует, что $OA = OB = OC$. Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника $ABC$, то есть является центром описанной около него окружности. Длины отрезков $OA$, $OB$, $OC$ равны радиусу $R$ этой окружности.

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$:

$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = 2R$

Подставим известные значения: $BC = 16$ см и $\angle A = 150^\circ$.

Найдем значение $\sin(150^\circ)$:

$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим это значение в формулу:

$\frac{16}{1/2} = 2R$

$32 = 2R$

$R = 16$ см.

Таким образом, $OA = OB = OC = R = 16$ см.

Теперь найдем длину бокового ребра, например, $SA$. Из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$ по теореме Пифагора:

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

Поскольку $\triangle SOA$ равнобедренный ($SO=OA$), то:

$SA^2 = OA^2 + OA^2 = 2 \cdot OA^2$

$SA = \sqrt{2 \cdot OA^2} = OA \sqrt{2}$

Подставив значение $OA = 16$ см, получим:

$SA = 16\sqrt{2}$ см.

Так как все боковые ребра равны ($SA = SB = SC$), то длина каждого из них составляет $16\sqrt{2}$ см.

Ответ: $16\sqrt{2}$ см.