Номер 193, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Пирамида. Вариант 3. Упражнения - номер 193, страница 90.

Условие.

193. Радиус окружности, вписанной в боковую грань правильной треугольной пирамиды, равен $r$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

Решение 2.

Поскольку пирамида правильная треугольная, ее боковые грани являются тремя равными равнобедренными треугольниками. Найдем площадь одной такой грани.

Пусть боковая грань пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник с плоским углом $\alpha$ при вершине. Апофема пирамиды (высота боковой грани, обозначим ее $h_a$) делит этот треугольник на два равных прямоугольных треугольника с острым углом $\frac{\alpha}{2}$ при вершине пирамиды.

Центр окружности, вписанной в боковую грань, лежит на апофеме. Расстояние от этого центра до основания грани равно радиусу $r$. Угол при основании боковой грани равен $\frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Биссектриса этого угла проходит через центр вписанной окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $r$ (проведенным к основанию грани), отрезком от вершины основания до центра вписанной окружности и половиной основания грани (обозначим ее $x$). Угол, противолежащий катету $r$, равен половине угла при основании, то есть $\frac{90^\circ - \alpha/2}{2} = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике находим половину основания грани $x$:
$\tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) = \frac{r}{x} \implies x = \frac{r}{\tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})} = r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$.

Теперь найдем апофему $h_a$ из прямоугольного треугольника, образованного апофемой, половиной основания $x$ и боковым ребром:
$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{x}{h_a} \implies h_a = \frac{x}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = x \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Подставим найденное выражение для $x$:
$h_a = r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Площадь одной боковой грани $S_{грань}$ равна произведению половины основания на апофему:
$S_{грань} = x \cdot h_a = \left(r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4})\right) \cdot \left(r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) \cot(\frac{\alpha}{2})\right) = r^2 \cot^2(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Используя тригонометрическое тождество $\cot(90^\circ - \theta) = \tan(\theta)$, можно переписать $\cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$ как $\tan(90^\circ - (45^\circ - \frac{\alpha}{4})) = \tan(45^\circ + \frac{\alpha}{4})$. Тогда выражение для площади примет более удобный вид:
$S_{грань} = r^2 \tan^2(45^\circ + \frac{\alpha}{4}) \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ состоит из трех таких граней, поэтому:
$S_{бок} = 3 S_{грань} = 3 r^2 \tan^2(45^\circ + \frac{\alpha}{4}) \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $S_{бок} = 3 r^2 \tan^2(45^\circ + \frac{\alpha}{4}) \cot(\frac{\alpha}{2})$.