Номер 190, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 3. Пирамида - номер 190, страница 89.

Условие.

190. Угол между высотой и боковым ребром правильной треугольной пирамиды равен $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если её высота равна 18 см.

Решение.

Решение 2.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S, основанием ABC и высотой SO, где O — центр основания.По условию, высота пирамиды $SO = H = 18$ см. Угол между высотой SO и боковым ребром (например, SA) равен $30^\circ$, то есть $\angle ASO = 30^\circ$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$ (так как $SO \perp ABC$, то $SO \perp AO$). В этом треугольнике катет $SO = 18$ см, а катет AO является радиусом ($R$) окружности, описанной около основания ABC.Найдем $R$ через тангенс угла $\angle ASO$:$R = AO = SO \cdot \tan(\angle ASO) = 18 \cdot \tan(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

2. Основанием пирамиды является правильный треугольник ABC. Сторона $a$ такого треугольника связана с радиусом описанной окружности $R$ формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.Выразим и найдем сторону основания $a$:$a = R \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$ см.

3. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле:$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).Найдем периметр основания:$P = 3a = 3 \cdot 18 = 54$ см.

4. Апофема $h_a$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $SO$ и радиусом вписанной в основание окружности $r$. Пусть M — середина стороны BC, тогда $SM = h_a$ и $OM = r$.Для правильного треугольника радиус вписанной окружности $r$ равен половине радиуса описанной окружности $R$:$r = OM = \frac{R}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$. По теореме Пифагора найдем апофему $SM = h_a$:$h_a^2 = SO^2 + OM^2 = 18^2 + (3\sqrt{3})^2 = 324 + 9 \cdot 3 = 324 + 27 = 351$.$h_a = \sqrt{351} = \sqrt{9 \cdot 39} = 3\sqrt{39}$ см.

6. Теперь вычислим площадь боковой поверхности пирамиды:$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 54 \cdot 3\sqrt{39} = 27 \cdot 3\sqrt{39} = 81\sqrt{39}$ см$^2$.

Ответ: $81\sqrt{39}$ см$^2$.