Номер 197, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

197. Сторона основания правильной пирамиды $MABCDEF$ равна $a$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$.

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины рёбер $MD$ и $ME$ параллельно высоте пирамиды.

2) Найдите площадь построенного сечения.

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины рёбер MD и ME параллельно высоте пирамиды.

Пусть MABCDEF – данная правильная шестиугольная пирамида с вершиной M и центром основания O. Высотой пирамиды является отрезок MO.
По условию, сторона основания равна $a$, то есть $AB = BC = CD = DE = EF = FA = a$.
Пусть P и Q – середины боковых рёбер MD и ME соответственно. Построим сечение, проходящее через точки P и Q параллельно высоте MO.

Построение:
1. Соединим точки P и Q. Отрезок PQ принадлежит секущей плоскости. Так как P и Q – середины сторон MD и ME треугольника MDE, то PQ является его средней линией. Следовательно, отрезок PQ параллелен стороне DE основания ($PQ \parallel DE$) и равен её половине ($PQ = \frac{1}{2}DE = \frac{a}{2}$).
2. Секущая плоскость по условию параллельна высоте MO. Проведём через точку P прямую, параллельную MO. Пусть она пересекает плоскость основания в точке R. Рассмотрим плоскость, в которой лежат рёбра MD и MO – плоскость (MOD). В треугольнике MOD отрезок PR параллелен MO и исходит из середины стороны MD, значит, PR является средней линией этого треугольника. Следовательно, точка R – середина отрезка OD, а длина PR равна половине высоты MO ($PR = \frac{1}{2}MO$).
3. Аналогично проведём через точку Q прямую, параллельную MO, до пересечения с плоскостью основания в точке S. В треугольнике MOE отрезок QS является средней линией. Следовательно, точка S – середина отрезка OE, а $QS = \frac{1}{2}MO$.
4. Соединим точки R и S. Отрезок RS лежит в плоскости основания. В треугольнике ODE отрезок RS соединяет середины сторон OD и OE, значит, RS – его средняя линия. Отсюда следует, что $RS \parallel DE$ и $RS = \frac{1}{2}DE = \frac{a}{2}$.
5. Четырёхугольник PQSR – искомое сечение.

Определим вид сечения.
Из построения следует, что $PQ \parallel DE$ и $RS \parallel DE$, значит $PQ \parallel RS$. Также $PQ = \frac{a}{2}$ и $RS = \frac{a}{2}$. Так как в четырёхугольнике PQSR две стороны параллельны и равны, он является параллелограммом.
Высота пирамиды MO перпендикулярна плоскости основания. По построению $PR \parallel MO$, следовательно, $PR$ также перпендикулярна плоскости основания. Поскольку отрезок RS лежит в плоскости основания, то $PR \perp RS$.
Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, построенное сечение PQSR – это прямоугольник.

Ответ: Искомое сечение – прямоугольник PQSR, где P и Q – середины рёбер MD и ME, а R и S – середины отрезков OD и OE соответственно (O – центр основания пирамиды).

2) Найдите площадь построенного сечения.

Площадь прямоугольника PQSR вычисляется по формуле $S_{PQSR} = PQ \cdot PR$.

1. Найдём длину стороны PQ.
Как было показано в построении, $PQ$ – средняя линия треугольника MDE. Сторона основания $DE = a$.
$PQ = \frac{1}{2}DE = \frac{a}{2}$.

2. Найдём длину стороны PR.
Как было показано в построении, $PR$ – средняя линия треугольника MOD, поэтому $PR = \frac{1}{2}MO$.
Для нахождения высоты MO рассмотрим прямоугольный треугольник MOD (угол $\angle MOD = 90^\circ$).
Угол $\alpha$ между боковым ребром (например, MD) и плоскостью основания – это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра MD на плоскость основания является отрезок OD. Следовательно, $\angle MDO = \alpha$.
В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны, поэтому $OD = a$.
Из треугольника MOD выразим MO через OD и угол $\alpha$:
$\tan(\alpha) = \frac{MO}{OD}$
$MO = OD \cdot \tan(\alpha) = a \tan(\alpha)$.
Теперь найдём PR:
$PR = \frac{1}{2}MO = \frac{a \tan(\alpha)}{2}$.

3. Вычислим площадь сечения.
$S_{PQSR} = PQ \cdot PR = \frac{a}{2} \cdot \frac{a \tan(\alpha)}{2} = \frac{a^2 \tan(\alpha)}{4}$.

Ответ: $\frac{a^2 \tan(\alpha)}{4}$.