Номер 199, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

199. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 32 см и 18 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если её высота равна 12 см, а боковые рёбра образуют с высотой пирамиды равные углы.

Пусть дана пирамида SABCD, где ABCD — прямоугольник в основании, а S — вершина пирамиды. Стороны основания равны AB = CD = 32 см и BC = AD = 18 см. Высота пирамиды SO = h = 12 см, где O — основание высоты.

По условию, боковые рёбра (SA, SB, SC, SD) образуют с высотой SO равные углы. Это означает, что прямоугольные треугольники △SOA, △SOB, △SOC и △SOD (с общим катетом SO) равны по катету и острому углу. Из равенства этих треугольников следует равенство их других катетов: OA = OB = OC = OD.

Это означает, что точка O равноудалена от всех вершин основания ABCD, то есть является центром описанной около прямоугольника окружности. Центр описанной окружности для прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей. Таким образом, вершина пирамиды S проецируется в центр основания O.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней. Боковыми гранями являются четыре треугольника: △SAB, △SBC, △SCD и △SDA. Так как вершина проецируется в центр основания, а основание — прямоугольник, то противоположные боковые грани равны: △SAB = △SCD и △SBC = △SDA.

Площадь боковой поверхности можно найти по формуле: $S_{бок} = 2 \cdot S_{\triangle SAB} + 2 \cdot S_{\triangle SBC}$

Для нахождения площадей этих треугольников нужно найти их высоты, которые называются апофемами пирамиды.

1. Найдём апофему SK грани SAB, где K — середина стороны AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник △SOK. Катет SO — это высота пирамиды, SO = 12 см. Катет OK равен половине стороны AD (или BC), так как O — центр прямоугольника. $OK = \frac{AD}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

По теореме Пифагора найдём гипотенузу SK: $SK = \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь найдём площадь грани SAB: $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 15 = 16 \cdot 15 = 240$ см².

2. Найдём апофему SM грани SBC, где M — середина стороны BC. Рассмотрим прямоугольный треугольник △SOM. Катет SO = 12 см. Катет OM равен половине стороны AB (или CD). $OM = \frac{AB}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

По теореме Пифагора найдём гипотенузу SM: $SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см.

Теперь найдём площадь грани SBC: $S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 20 = 9 \cdot 20 = 180$ см².

3. Найдём площадь боковой поверхности пирамиды: $S_{бок} = 2 \cdot S_{\triangle SAB} + 2 \cdot S_{\triangle SBC} = 2 \cdot 240 + 2 \cdot 180 = 480 + 360 = 840$ см².

Ответ: 840 см².