Номер 206, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

206. Боковые грани DAC и DBC пирамиды DABC перпендикулярны плоскости основания, $AB = 11 \text{ см}$, $AC = 25 \text{ см}$, $BC = 30 \text{ см}$, $DC = 10 \text{ см}$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей трех ее боковых граней: $\triangle DAC$, $\triangle DBC$ и $\triangle DAB$.

$S_{бок} = S_{\triangle DAC} + S_{\triangle DBC} + S_{\triangle DAB}$

1. Анализ условия перпендикулярности граней

По условию, боковые грани $DAC$ и $DBC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две плоскости, пересекающиеся по прямой, перпендикулярны третьей плоскости, то и линия их пересечения перпендикулярна этой плоскости. Грани $DAC$ и $DBC$ пересекаются по ребру $DC$, следовательно, ребро $DC$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Это означает, что $DC$ является высотой пирамиды, а треугольники $\triangle DAC$ и $\triangle DBC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $C$.

2. Вычисление площадей граней $\triangle DAC$ и $\triangle DBC$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Используя данные $AC = 25$ см, $BC = 30$ см и $DC = 10$ см, находим:
$S_{\triangle DAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 10 = 125 \text{ см}^2$.
$S_{\triangle DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 10 = 150 \text{ см}^2$.

3. Вычисление площади грани $\triangle DAB$

Для вычисления площади $S_{\triangle DAB}$ найдем длину ее высоты $DH$, проведенной к стороне $AB$. Для этого сначала найдем высоту $CH$ в треугольнике основания $ABC$, проведенную к стороне $AB$. Вычислим площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона.
Полупериметр $p$ треугольника $ABC$ со сторонами $AB=11$ см, $AC=25$ см, $BC=30$ см:
$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{11 + 25 + 30}{2} = \frac{66}{2} = 33$ см.
Площадь $S_{\triangle ABC}$:
$S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} = \sqrt{33(33-11)(33-25)(33-30)} = \sqrt{33 \cdot 22 \cdot 8 \cdot 3} = \sqrt{(3 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 11) \cdot (2^3) \cdot 3} = \sqrt{3^2 \cdot 11^2 \cdot 2^4} = 3 \cdot 11 \cdot 2^2 = 132 \text{ см}^2$.
Теперь найдем высоту $CH$ из формулы площади:
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \implies CH = \frac{2 \cdot S_{\triangle ABC}}{AB} = \frac{2 \cdot 132}{11} = 24$ см.
Так как $DC \perp (ABC)$, то $DC \perp CH$, и треугольник $\triangle DCH$ является прямоугольным. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость ($CH$) перпендикулярна прямой на плоскости ($AB$), то и сама наклонная ($DH$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $DH$ является высотой в треугольнике $\triangle DAB$. Найдем $DH$ по теореме Пифагора в прямоугольном $\triangle DCH$ :
$DH = \sqrt{DC^2 + CH^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ см.
Вычислим площадь грани $\triangle DAB$:
$S_{\triangle DAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 26 = 143 \text{ см}^2$.

4. Вычисление общей площади боковой поверхности

Суммируем площади всех боковых граней, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды:
$S_{бок} = S_{\triangle DAC} + S_{\triangle DBC} + S_{\triangle DAB} = 125 + 150 + 143 = 418 \text{ см}^2$.

Ответ: $418 \text{ см}^2$.