Номер 211, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

211. Сторона большего основания правильной усеченной четырехугольной пирамиды равна 10 см, а высота пирамиды — $4\sqrt{6}$ см. Боковое ребро пирамиды образует с плоскостью большего основания угол $60^\circ$. Найдите площадь диагонального сечения усеченной пирамиды.

Диагональное сечение правильной усечённой четырёхугольной пирамиды представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции являются диагонали оснований пирамиды ($d_1$ и $d_2$), а её высота совпадает с высотой пирамиды $h$.

Площадь диагонального сечения вычисляется по формуле площади трапеции: $S = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h$

Сначала найдём диагональ большего основания $d_1$. Поскольку в основании лежит квадрат со стороной $a_1 = 10$ см, его диагональ равна: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ см.

Далее, найдём диагональ меньшего основания $d_2$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза), высотой усечённой пирамиды (катет) и проекцией бокового ребра на плоскость большего основания (второй катет). Угол между боковым ребром и плоскостью большего основания по условию равен $\alpha = 60^\circ$. В этом треугольнике высота пирамиды $h = 4\sqrt{6}$ см является катетом, противолежащим этому углу. Длина второго катета, лежащего на диагонали большего основания, равна полуразности диагоналей оснований: $\frac{d_1 - d_2}{2}$.

Используя определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике, можем записать: $\tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{d_1 - d_2}{2}}$

Подставим известные значения и найдём полуразность диагоналей: $\frac{d_1 - d_2}{2} = \frac{h}{\tan(\alpha)} = \frac{4\sqrt{6}}{\tan(60^\circ)} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{\frac{6}{3}} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная $d_1 = 10\sqrt{2}$ см, найдём $d_2$: $\frac{10\sqrt{2} - d_2}{2} = 4\sqrt{2}$ $10\sqrt{2} - d_2 = 2 \cdot 4\sqrt{2}$ $10\sqrt{2} - d_2 = 8\sqrt{2}$ $d_2 = 10\sqrt{2} - 8\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Наконец, вычислим площадь диагонального сечения (трапеции), подставив все найденные значения в формулу: $S = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h = \frac{10\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} \cdot 4\sqrt{6}$ $S = \frac{12\sqrt{2}}{2} \cdot 4\sqrt{6} = 6\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{6} = 24\sqrt{12}$ $S = 24\sqrt{4 \cdot 3} = 24 \cdot 2\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$ см².

Ответ: $48\sqrt{3}$ см².