Номер 214, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

214. Основания усечённой пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ являются квадратами, $AB = 18$ см, $A_1B_1 = 10$ см. Боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а двугранные углы усечённой пирамиды при рёбрах $BC$ и $CD$ равны. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды, если $AA_1 = 15$ см.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей её четырёх боковых граней: $S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{ADD_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{CDD_1C_1}$.

Площадь граней $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$

По условию, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Следовательно, $AA_1$ перпендикулярно рёбрам $AB$ и $AD$, лежащим в этой плоскости. Так как основания пирамиды параллельны, то $A_1B_1 \parallel AB$ и $A_1D_1 \parallel AD$. Это означает, что боковые грани $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$ являются прямоугольными трапециями, у которых ребро $AA_1$ является высотой.

Основания трапеции $ABB_1A_1$ равны $AB = 18$ см и $A_1B_1 = 10$ см. Высота трапеции равна $AA_1 = 15$ см.Площадь грани $ABB_1A_1$ равна:

$S_{ABB_1A_1} = \frac{AB + A_1B_1}{2} \cdot AA_1 = \frac{18 + 10}{2} \cdot 15 = \frac{28}{2} \cdot 15 = 14 \cdot 15 = 210$ см$^2$.

Аналогично, для трапеции $ADD_1A_1$ основания равны $AD = 18$ см (так как $ABCD$ - квадрат) и $A_1D_1 = 10$ см (так как $A_1B_1C_1D_1$ - квадрат). Высота равна $AA_1 = 15$ см.Площадь грани $ADD_1A_1$ равна:

$S_{ADD_1A_1} = \frac{AD + A_1D_1}{2} \cdot AA_1 = \frac{18 + 10}{2} \cdot 15 = 14 \cdot 15 = 210$ см$^2$.

Ответ: Площади граней $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$ равны 210 см$^2$ каждая.

Площадь граней $BCC_1B_1$ и $CDD_1C_1$

Для нахождения площадей граней $BCC_1B_1$ и $CDD_1C_1$ рассмотрим полную пирамиду $S-ABCD$, из которой была получена данная усечённая пирамида. Так как ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию, то высота полной пирамиды - это ребро $SA$.

Треугольники $\triangle SA_1B_1$ и $\triangle SAB$ подобны. Обозначим высоту малой пирамиды $SA_1 = h$, тогда высота большой пирамиды $SA = h + AA_1 = h + 15$.Из подобия следует отношение:

$\frac{SA_1}{SA} = \frac{A_1B_1}{AB} \implies \frac{h}{h+15} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

$9h = 5(h+15) \implies 9h = 5h + 75 \implies 4h = 75 \implies h = 18,75$ см.

Таким образом, $SA_1 = 18,75$ см, а $SA = 18,75 + 15 = 33,75$ см.

Рассмотрим грань $SBC$. Так как $SA \perp (ABCD)$, а $AB \perp BC$ (поскольку $ABCD$ - квадрат), то по теореме о трёх перпендикулярах наклонная $SB$ перпендикулярна $BC$. Следовательно, $SB$ является высотой треугольника $SBC$, проведённой к стороне $BC$.Найдём длину $SB$ из прямоугольного треугольника $\triangle SAB$ по теореме Пифагора:

$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(33,75)^2 + 18^2} = \sqrt{1139,0625 + 324} = \sqrt{1463,0625} = 38,25$ см.

Аналогично для малой пирамиды, $SA_1 \perp (A_1B_1C_1D_1)$ и $A_1B_1 \perp B_1C_1$, следовательно $SB_1 \perp B_1C_1$. Найдём длину $SB_1$ из $\triangle SA_1B_1$:

$SB_1 = \sqrt{SA_1^2 + A_1B_1^2} = \sqrt{(18,75)^2 + 10^2} = \sqrt{351,5625 + 100} = \sqrt{451,5625} = 21,25$ см.

Площадь грани $BCC_1B_1$ равна разности площадей треугольников $\triangle SBC$ и $\triangle SB_1C_1$:

$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 38,25 = 9 \cdot 38,25 = 344,25$ см$^2$.

$S_{SB_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot B_1C_1 \cdot SB_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 21,25 = 5 \cdot 21,25 = 106,25$ см$^2$.

$S_{BCC_1B_1} = S_{SBC} - S_{SB_1C_1} = 344,25 - 106,25 = 238$ см$^2$.

Аналогичные рассуждения применяем для грани $CDD_1C_1$. Так как $SA \perp (ABCD)$ и $AD \perp CD$, то по теореме о трёх перпендикулярах $SD \perp CD$. $SD$ - высота $\triangle SCD$.Из $\triangle SAD$: $SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{(33,75)^2 + 18^2} = 38,25$ см.Для малой пирамиды $SD_1 \perp C_1D_1$.Из $\triangle SA_1D_1$: $SD_1 = \sqrt{SA_1^2 + A_1D_1^2} = \sqrt{(18,75)^2 + 10^2} = 21,25$ см.Площадь грани $CDD_1C_1$ равна разности площадей треугольников $\triangle SCD$ и $\triangle SC_1D_1$:

$S_{CDD_1C_1} = S_{SCD} - S_{SC_1D_1} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 38,25 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 21,25 = 344,25 - 106,25 = 238$ см$^2$.

Ответ: Площади граней $BCC_1B_1$ и $CDD_1C_1$ равны 238 см$^2$ каждая.

Общая площадь боковой поверхности

Сложим площади всех четырёх боковых граней, чтобы найти общую площадь боковой поверхности усечённой пирамиды:

$S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{ADD_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{CDD_1C_1}$

$S_{бок} = 210 + 210 + 238 + 238 = 420 + 476 = 896$ см$^2$.

Ответ: 896 см$^2$.