Номер 213, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

213. В правильной усечённой треугольной пирамиде стороны оснований равны $6\sqrt{3}$ см и $24\sqrt{3}$ см, а её высота — 12 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$

где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани) усеченной пирамиды.

1. Найдем периметры оснований.

Основаниями являются правильные (равносторонние) треугольники. Периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $3a$.

Сторона меньшего основания $a_1 = 6\sqrt{3}$ см.

Периметр меньшего основания: $P_1 = 3 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см.

Сторона большего основания $a_2 = 24\sqrt{3}$ см.

Периметр большего основания: $P_2 = 3 \cdot 24\sqrt{3} = 72\sqrt{3}$ см.

2. Найдем апофему усеченной пирамиды.

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченной пирамиды $H$, ее апофемой $h_a$ и разностью радиусов вписанных в основания окружностей $(r_2 - r_1)$.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Радиус окружности, вписанной в меньшее основание:

$r_1 = \frac{a_1\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{6 \cdot 3}{6} = 3$ см.

Радиус окружности, вписанной в большее основание:

$r_2 = \frac{a_2\sqrt{3}}{6} = \frac{24\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{24 \cdot 3}{6} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Теперь по теореме Пифагора найдем апофему $h_a$:

$h_a^2 = H^2 + (r_2 - r_1)^2$

Высота пирамиды $H = 12$ см.

$h_a^2 = 12^2 + (12 - 3)^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$

$h_a = \sqrt{225} = 15$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности.

Подставим найденные значения в формулу:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(18\sqrt{3} + 72\sqrt{3}) \cdot 15 = \frac{1}{2}(90\sqrt{3}) \cdot 15 = 45\sqrt{3} \cdot 15 = 675\sqrt{3}$ см².

Ответ: $675\sqrt{3}$ см².