Номер 1, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2

Тема. Параллельность в пространстве

1. Точки D, E, F и K — середины рёбер AB, MB, MC и AC тетраэдра MABC соответственно, $BC = 42$ см, $AM = 36$ см (рис. 100). Докажите, что точки D, E, F и K являются вершинами параллелограмма, и вычислите периметр этого параллелограмма.

Рис. 100

Докажите, что точки D, E, F и K являются вершинами параллелограмма

Рассмотрим тетраэдр $MABC$. По условию задачи точки $D, E, F, K$ являются серединами рёбер $AB, MB, MC$ и $AC$ соответственно. Для доказательства того, что четырёхугольник $DEFK$ является параллелограммом, достаточно доказать, что одна пара его противоположных сторон параллельна и равна.

1. Рассмотрим треугольник $ABM$.
Так как точка $D$ — середина ребра $AB$ и точка $E$ — середина ребра $MB$, то отрезок $DE$ является средней линией треугольника $ABM$.
По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно:
$DE \parallel AM$ и $DE = \frac{1}{2} AM$.

2. Рассмотрим треугольник $ACM$.
Так как точка $K$ — середина ребра $AC$ и точка $F$ — середина ребра $MC$, то отрезок $KF$ является средней линией треугольника $ACM$.
По свойству средней линии треугольника:
$KF \parallel AM$ и $KF = \frac{1}{2} AM$.

3. Из полученных соотношений следует, что $DE \parallel AM$ и $KF \parallel AM$. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой, значит, $DE \parallel KF$.
Также мы получили, что $DE = \frac{1}{2} AM$ и $KF = \frac{1}{2} AM$. Следовательно, $DE = KF$.

Поскольку в четырёхугольнике $DEFK$ противоположные стороны $DE$ и $KF$ параллельны и равны, то по признаку параллелограмма $DEFK$ является параллелограммом.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник $DEFK$ является параллелограммом.

вычислите периметр этого параллелограмма

Периметр параллелограмма $DEFK$ равен удвоенной сумме длин его смежных сторон: $P_{DEFK} = 2 \cdot (DE + EF)$.

1. Длину стороны $DE$ найдем, используя данные из условия ($AM = 36$ см). Как было показано в доказательстве, $DE$ является средней линией треугольника $ABM$.
$DE = \frac{1}{2} AM = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18$ см.

2. Длину стороны $EF$ найдем, рассмотрев треугольник $BCM$.
Так как точка $E$ — середина ребра $MB$ и точка $F$ — середина ребра $MC$, то отрезок $EF$ является средней линией треугольника $BCM$.
По свойству средней линии, $EF$ параллельна $BC$ и равна её половине. Используя данные из условия ($BC = 42$ см):
$EF = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 42 = 21$ см.

3. Теперь вычислим периметр параллелограмма $DEFK$:
$P_{DEFK} = 2 \cdot (DE + EF) = 2 \cdot (18 + 21) = 2 \cdot 39 = 78$ см.

Ответ: 78 см.