Номер 3, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Параллелограмм $ABCD$ является изображением ромба $A_1B_1C_1D_1$, точка $M$ — изображение некоторой точки $M_1$ отрезка $C_1D_1$ (рис. 101). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки $M_1$ на диагональ $B_1D_1$ ромба.

Рис. 101

Пусть параллелограмм $ABCD$ является изображением ромба $A_1B_1C_1D_1$ при параллельном проектировании. Это означает, что точки $A, B, C, D$ являются проекциями вершин $A_1, B_1, C_1, D_1$ соответственно. Точка $M$ на отрезке $CD$ является изображением точки $M_1$ на отрезке $C_1D_1$.

Наша задача — построить изображение перпендикуляра, опущенного из точки $M_1$ на диагональ $B_1D_1$. Обозначим этот перпендикуляр как $M_1H_1$, где $H_1$ — это основание перпендикуляра, лежащее на диагонали $B_1D_1$. По определению, $M_1H_1 \perp B_1D_1$.

Анализ

Для решения задачи воспользуемся свойствами ромба и параллельного проектирования:

1. Одним из ключевых свойств ромба является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Для ромба $A_1B_1C_1D_1$ это означает, что $A_1C_1 \perp B_1D_1$.

2. По условию, нам нужно построить перпендикуляр из точки $M_1$ к диагонали $B_1D_1$. То есть, $M_1H_1 \perp B_1D_1$.

3. В плоскости ромба мы имеем две прямые, $M_1H_1$ и $A_1C_1$, которые обе перпендикулярны одной и той же прямой $B_1D_1$. Из этого следует, что эти две прямые параллельны друг другу: $M_1H_1 \| A_1C_1$.

4. Важнейшее свойство параллельного проектирования заключается в том, что оно сохраняет параллельность прямых. Следовательно, изображение прямой $M_1H_1$ (обозначим его $MH$) должно быть параллельно изображению прямой $A_1C_1$ (которое является диагональю $AC$ параллелограмма $ABCD$).

5. Поскольку точка $H_1$ лежит на диагонали $B_1D_1$, ее изображение, точка $H$, должна лежать на изображении этой диагонали, то есть на диагонали $BD$.

Из анализа следует, что для построения искомого отрезка $MH$ необходимо через точку $M$ провести прямую, параллельную диагонали $AC$, и найти ее точку пересечения с диагональю $BD$.

Построение

Построение выполняется в следующей последовательности:

1. Соединяем вершины $A$ и $C$, а также $B$ и $D$, чтобы построить диагонали параллелограмма $ABCD$.

2. Через данную точку $M$ на стороне $CD$ проводим прямую, параллельную диагонали $AC$.

3. Находим точку пересечения этой прямой с диагональю $BD$. Обозначаем эту точку как $H$.

4. Отрезок $MH$ является искомым изображением перпендикуляра, опущенного из точки $M_1$ на диагональ $B_1D_1$.

Доказательство

Докажем, что построенный отрезок $MH$ действительно является изображением перпендикуляра $M_1H_1$ к диагонали $B_1D_1$.

По нашему построению, прямая $MH$ параллельна диагонали $AC$ ($MH \| AC$). Так как параллельное проектирование сохраняет параллельность прямых, их прообразы также должны быть параллельны. Прообразом отрезка $MH$ является отрезок $M_1H_1$, а прообразом диагонали $AC$ — диагональ $A_1C_1$. Следовательно, $M_1H_1 \| A_1C_1$.

В ромбе $A_1B_1C_1D_1$ диагонали перпендикулярны: $A_1C_1 \perp B_1D_1$.

Поскольку $M_1H_1 \| A_1C_1$ и $A_1C_1 \perp B_1D_1$, то отсюда следует, что $M_1H_1 \perp B_1D_1$.

Точка $M$ лежит на $CD$, значит, ее прообраз $M_1$ лежит на $C_1D_1$. Точка $H$ лежит на диагонали $BD$, значит, ее прообраз $H_1$ лежит на диагонали $B_1D_1$.

Таким образом, $M_1H_1$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $M_1$ на диагональ $B_1D_1$. Следовательно, построенный отрезок $MH$ является его изображением. Построение верно.

Ответ: Искомым изображением перпендикуляра является отрезок $MH$, построенный путем проведения через точку $M$ прямой, параллельной диагонали $AC$, до пересечения с диагональю $BD$ в точке $H$.