Номер 5, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Точки $M$ и $K$ принадлежат соответственно рёбрам $SB$ и $SC$ тетраэдра $SABC$, а точка $N$ — грани $ABC$ (рис. 99), причём прямые $MK$ и $BC$ не параллельны. Постройте сечение тетраэдра плоскостью $MNK$.

Рис. 99

Для построения сечения тетраэдра $SABC$ плоскостью $MNK$ воспользуемся методом следов. Построение будет состоять из нескольких шагов.

1. Нахождение следа секущей плоскости на плоскости основания $(ABC)$

След – это прямая пересечения секущей плоскости $(MNK)$ с плоскостью основания $(ABC)$. Для построения прямой нам нужны две точки, принадлежащие обеим плоскостям.

Первая точка – $N$, так как по условию она лежит в грани $ABC$ и принадлежит секущей плоскости.

Вторую точку найдем как точку пересечения прямой, лежащей в секущей плоскости, с прямой, лежащей в плоскости основания. Рассмотрим прямые $MK$ и $BC$. Обе они лежат в плоскости грани $(SBC)$. По условию $MK$ и $BC$ не параллельны, значит, они пересекаются. Обозначим точку их пересечения $P$.

$P = MK \cap BC$

Поскольку точка $P$ лежит на прямой $MK$, она принадлежит секущей плоскости $(MNK)$. Поскольку $P$ лежит на прямой $BC$, она принадлежит плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, $P$ – это вторая искомая точка.

Прямая $NP$ является следом секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания $(ABC)$.

2. Построение вершин сечения на ребрах основания

След $NP$ лежит в плоскости $(ABC)$ и пересекает стороны основания $ABC$. Найдем точки пересечения прямой $NP$ с ребрами $AB$ и $AC$.

Пусть $Q$ – точка пересечения прямой $NP$ и ребра $AB$: $Q = NP \cap AB$.

Пусть $R$ – точка пересечения прямой $NP$ и ребра $AC$: $R = NP \cap AC$.

Точки $Q$ и $R$ являются вершинами искомого сечения, так как они принадлежат ребрам тетраэдра и секущей плоскости (поскольку лежат на следе $NP$).

3. Построение искомого сечения

Вершинами сечения являются точки $M, K, R, Q$. Соединяя их последовательно, получаем стороны сечения, которые являются отрезками пересечения секущей плоскости с гранями тетраэдра: $MK$ в грани $(SBC)$, $KR$ в грани $(SAC)$, $RQ$ в грани $(ABC)$ и $QM$ в грани $(SAB)$. Полученный четырехугольник $MKRQ$ и есть искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение – это четырехугольник $MKRQ$. Для его построения необходимо: 1) найти точку $P$ как пересечение прямых $MK$ и $BC$; 2) провести прямую $NP$; 3) найти точки $Q$ и $R$ как пересечение прямой $NP$ с ребрами $AB$ и $AC$ соответственно; 4) соединить точки $M, K, R, Q$.