Номер 4, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Плоскости $\beta$ и $\gamma$ параллельны. Из точки A, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости $\beta$ и $\gamma$ в точках $B_1$ и $C_1$, а другой — в точках $B_2$ и $C_2$ соответственно. Найдите отрезок $C_1C_2$, если он на 14 см больше отрезка $B_1B_2$, $AC_1=11$ см, $B_1C_1=7$ см.

Два луча, выходящие из точки $ A $, определяют плоскость, назовем ее $ \alpha $. Согласно свойству параллельных плоскостей, если плоскость $ \alpha $ пересекает две параллельные плоскости $ \beta $ и $ \gamma $, то линии их пересечения параллельны. В данном случае, линия пересечения плоскости $ \alpha $ с плоскостью $ \beta $ — это прямая, проходящая через точки $ B_1 $ и $ B_2 $, а линия пересечения с плоскостью $ \gamma $ — это прямая, проходящая через точки $ C_1 $ и $ C_2 $. Таким образом, мы имеем $ B_1B_2 \parallel C_1C_2 $.

Рассмотрим треугольники $ \triangle AB_1B_2 $ и $ \triangle AC_1C_2 $, лежащие в плоскости $ \alpha $. Эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам):
1. Угол $ \angle C_1AC_2 $ является общим для обоих треугольников.
2. Углы $ \angle AB_1B_2 $ и $ \angle AC_1C_2 $ равны как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых $ B_1B_2 $ и $ C_1C_2 $ секущей $ AC_1 $.

Из подобия треугольников $ \triangle AB_1B_2 \sim \triangle AC_1C_2 $ следует пропорциональность их соответственных сторон:
$ \frac{AB_1}{AC_1} = \frac{B_1B_2}{C_1C_2} $

Точки $ A, B_1, C_1 $ лежат на одном луче. По условию, точка $ A $ не находится между плоскостями, а луч пересекает сначала плоскость $ \beta $ в точке $ B_1 $, а затем плоскость $ \gamma $ в точке $ C_1 $. Это означает, что точка $ B_1 $ лежит на отрезке $ AC_1 $.
Следовательно, длина отрезка $ AC_1 $ равна сумме длин отрезков $ AB_1 $ и $ B_1C_1 $: $ AC_1 = AB_1 + B_1C_1 $.
Известно, что $ AC_1 = 11 $ см и $ B_1C_1 = 7 $ см. Найдем длину отрезка $ AB_1 $:
$ AB_1 = AC_1 - B_1C_1 = 11 - 7 = 4 $ см.

По условию задачи, отрезок $ C_1C_2 $ на 14 см больше отрезка $ B_1B_2 $. Введем переменную: пусть $ B_1B_2 = x $ см. Тогда $ C_1C_2 = (x + 14) $ см.

Подставим известные и выраженные значения в пропорцию, полученную из подобия треугольников:
$ \frac{4}{11} = \frac{x}{x + 14} $

Для решения уравнения воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$ 4(x + 14) = 11x $
$ 4x + 56 = 11x $
$ 11x - 4x = 56 $
$ 7x = 56 $
$ x = \frac{56}{7} = 8 $
Таким образом, мы нашли, что длина отрезка $ B_1B_2 $ равна 8 см.

Теперь найдем искомую длину отрезка $ C_1C_2 $:
$ C_1C_2 = x + 14 = 8 + 14 = 22 $ см.

Ответ: 22 см.