Номер 4, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Через вершину $B$ квадрата $ABCD$ к его плоскости проведён перпендикуляр $MB$. Точка $M$ удалена от стороны $AD$ на $9\sqrt{2}$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости квадрата, если его диагональ равна 14 см.

По условию задачи, $ABCD$ — это квадрат, а $MB$ — перпендикуляр к плоскости квадрата $(ABC)$. Это означает, что отрезок $MB$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости квадрата и проходящей через точку $B$. Расстояние от точки $M$ до плоскости квадрата по определению равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость, то есть нам нужно найти длину отрезка $MB$.

Расстояние от точки $M$ до стороны $AD$ — это длина перпендикуляра, проведенного из точки $M$ к прямой $AD$. Рассмотрим наклонную $MA$ к плоскости квадрата и ее проекцию $AB$.

Так как $ABCD$ — квадрат, его стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны: $AB \perp AD$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость ($AB$) перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости ($AD$), то и сама наклонная ($MA$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $MA \perp AD$.

Следовательно, длина отрезка $MA$ является расстоянием от точки $M$ до стороны $AD$. По условию, это расстояние равно $9\sqrt{2}$ см, значит $MA = 9\sqrt{2}$ см.

Так как $MB \perp (ABC)$, то $MB \perp AB$. Это означает, что треугольник $\triangle MBA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

Теперь найдем длину стороны квадрата. Длина диагонали квадрата $d$ связана с его стороной $a$ соотношением $d = a\sqrt{2}$. Нам дано, что $d = 14$ см.

$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{14}{\sqrt{2}} = \frac{14\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}$ см.

Сторона квадрата $AB$ равна $7\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MBA$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $MA^2 = MB^2 + AB^2$.

Выразим из этой формулы искомый катет $MB$:

$MB^2 = MA^2 - AB^2$

Подставим известные значения:

$MB^2 = (9\sqrt{2})^2 - (7\sqrt{2})^2 = 9^2 \cdot (\sqrt{2})^2 - 7^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 81 \cdot 2 - 49 \cdot 2 = 162 - 98 = 64$

$MB = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.