Номер 5, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Через вершину $B$ квадрата $ABCD$ провели перпендикуляр $MB$ к плоскости квадрата. Угол между прямой $MD$ и плоскостью квадрата равен $60^{\circ}$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $MCD$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. По условию, прямая $MB$ перпендикулярна плоскости квадрата $ABC$, то есть $MB \perp (ABC)$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Прямая $MD$ является наклонной к плоскости $(ABC)$. Поскольку $MB \perp (ABC)$, отрезок $BD$ является проекцией наклонной $MD$ на плоскость $(ABC)$. Следовательно, угол между прямой $MD$ и плоскостью квадрата — это угол $\angle MDB$. По условию задачи, $\angle MDB = 60^\circ$.

Рассмотрим основание $ABCD$. Это квадрат со стороной $a$. Его диагональ $BD$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle BCD$: $BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MBD$. Он прямоугольный, так как $MB \perp (ABC)$, а значит $MB$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и $BD$. Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

$\tan(\angle MDB) = \frac{MB}{BD}$

Отсюда находим высоту $MB$:

$MB = BD \cdot \tan(60^\circ) = a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = a\sqrt{6}$.

Теперь найдем угол между плоскостями $(ABC)$ и $(MCD)$. Угол между двумя плоскостями — это двугранный угол, который измеряется величиной своего линейного угла. Линией пересечения данных плоскостей является прямая $CD$.

Для построения линейного угла нам нужно в каждой из плоскостей провести перпендикуляр к линии их пересечения $CD$ через одну и ту же точку. В качестве такой точки выберем точку $C$.

1. В плоскости $(ABC)$ проведем перпендикуляр к $CD$ из точки $C$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $BC \perp CD$.

2. В плоскости $(MCD)$ нужно найти перпендикуляр к $CD$ из точки $C$. Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах: $MC$ — наклонная к плоскости $(ABC)$, $BC$ — её проекция на эту плоскость. Поскольку проекция $BC$ перпендикулярна прямой $CD$, лежащей в плоскости, то и сама наклонная $MC$ перпендикулярна этой прямой, то есть $MC \perp CD$.

Следовательно, угол $\angle MCB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(MCD)$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MCB$. Он прямоугольный, так как $MB \perp (ABC)$ и, следовательно, $MB \perp BC$. Мы знаем длины катетов: $BC = a$ и $MB = a\sqrt{6}$. Найдем тангенс искомого угла $\angle MCB$:

$\tan(\angle MCB) = \frac{MB}{BC} = \frac{a\sqrt{6}}{a} = \sqrt{6}$.

Таким образом, искомый угол равен $\arctan(\sqrt{6})$.

Ответ: $\arctan(\sqrt{6})$.