Номер 5, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5. Многогранники. Вариант 1. Контрольные работы - номер 5, страница 97.

Условие.

5. В наклонной треугольной призме, боковое ребро которой равно 18 см, проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру. Это сечение является треугольником со сторонами 3 см и 8 см и углом 60° между ними. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

Решение 2.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $P_{\perp}$ — периметр сечения, перпендикулярного боковому ребру, а $l$ — длина бокового ребра.

По условию задачи, длина бокового ребра $l = 18$ см. Перпендикулярное сечение представляет собой треугольник, у которого известны две стороны $a = 3$ см, $b = 8$ см и угол между ними $\gamma = 60^\circ$.

Чтобы найти периметр сечения, необходимо сначала вычислить длину его третьей стороны, которую обозначим как $c$. Для этого воспользуемся теоремой косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

Подставим известные значения в формулу:

$c^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$

Учитывая, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, произведем вычисления:

$c^2 = 9 + 64 - 48 \cdot \frac{1}{2}$

$c^2 = 73 - 24$

$c^2 = 49$

Отсюда находим длину третьей стороны: $c = \sqrt{49} = 7$ см.

Теперь мы можем вычислить периметр перпендикулярного сечения $P_{\perp}$, сложив длины всех его сторон:

$P_{\perp} = 3 + 8 + 7 = 18$ см.

Наконец, найдем площадь боковой поверхности призмы, умножив периметр перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l = 18 \cdot 18 = 324$ см$^2$.

Ответ: $324$ см$^2$.