Номер 4, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Контрольная работа № 6. Обобщение и систематизация знаний учащихся. Вариант 1. Контрольные работы - номер 4, страница 98.
№4 (с. 98)
Условие. №4 (с. 98)
скриншот условия

4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с острым углом $α$. Большая диагональ параллелепипеда равна $d$ и образует с плоскостью основания угол $β$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Решение. №4 (с. 98)

Решение 2. №4 (с. 98)
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота параллелепипеда.
Поскольку основанием является ромб со стороной $a$, его периметр $P_{осн} = 4a$. Следовательно, формула для площади боковой поверхности принимает вид $S_{бок} = 4ah$. Для решения задачи необходимо выразить сторону ромба $a$ и высоту параллелепипеда $h$ через данные величины $d$, $\alpha$ и $\beta$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота параллелепипеда $h$ и большая диагональ основания (ромба) $d_1$, а гипотенузой — большая диагональ параллелепипеда $d$. По условию, угол между диагональю параллелепипеда $d$ и плоскостью основания (то есть диагональю ромба $d_1$) равен $\beta$.
Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике находим:
$h = d \sin\beta$
$d_1 = d \cos\beta$
Теперь свяжем большую диагональ ромба $d_1$ с его стороной $a$. В ромбе с острым углом $\alpha$ тупой угол равен $180^\circ - \alpha$. Большая диагональ лежит против большего (тупого) угла. Применим теорему косинусов к треугольнику, образованному двумя сторонами ромба $a$ и его большей диагональю $d_1$:
$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(180^\circ - \alpha) = 2a^2 - 2a^2(-\cos\alpha) = 2a^2(1 + \cos\alpha)$.
Воспользуемся тригонометрической формулой $1 + \cos\alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$:
$d_1^2 = 2a^2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$.
Извлекая квадратный корень, получаем: $d_1 = 2a\cos(\frac{\alpha}{2})$.
Теперь у нас есть два выражения для $d_1$. Приравняем их, чтобы найти сторону ромба $a$:
$d \cos\beta = 2a\cos(\frac{\alpha}{2})$
$a = \frac{d \cos\beta}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$.
Подставим найденные выражения для $a$ и $h$ в формулу площади боковой поверхности $S_{бок} = 4ah$:
$S_{бок} = 4 \cdot \left( \frac{d \cos\beta}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} \right) \cdot (d \sin\beta) = \frac{4d^2 \sin\beta \cos\beta}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2d^2 \sin\beta \cos\beta}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.
Применив формулу синуса двойного угла $2\sin\beta \cos\beta = \sin(2\beta)$, получим окончательное выражение:
$S_{бок} = \frac{d^2 \sin(2\beta)}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.
Ответ: $S_{бок} = \frac{d^2 \sin(2\beta)}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 98 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №4 (с. 98), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.