Номер 4, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 6. Обобщение и систематизация знаний учащихся - номер 4, страница 98.

Условие.

4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с острым углом $α$. Большая диагональ параллелепипеда равна $d$ и образует с плоскостью основания угол $β$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение.

Решение 2.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота параллелепипеда.

Поскольку основанием является ромб со стороной $a$, его периметр $P_{осн} = 4a$. Следовательно, формула для площади боковой поверхности принимает вид $S_{бок} = 4ah$. Для решения задачи необходимо выразить сторону ромба $a$ и высоту параллелепипеда $h$ через данные величины $d$, $\alpha$ и $\beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота параллелепипеда $h$ и большая диагональ основания (ромба) $d_1$, а гипотенузой — большая диагональ параллелепипеда $d$. По условию, угол между диагональю параллелепипеда $d$ и плоскостью основания (то есть диагональю ромба $d_1$) равен $\beta$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике находим:
$h = d \sin\beta$
$d_1 = d \cos\beta$

Теперь свяжем большую диагональ ромба $d_1$ с его стороной $a$. В ромбе с острым углом $\alpha$ тупой угол равен $180^\circ - \alpha$. Большая диагональ лежит против большего (тупого) угла. Применим теорему косинусов к треугольнику, образованному двумя сторонами ромба $a$ и его большей диагональю $d_1$:
$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(180^\circ - \alpha) = 2a^2 - 2a^2(-\cos\alpha) = 2a^2(1 + \cos\alpha)$.

Воспользуемся тригонометрической формулой $1 + \cos\alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$:
$d_1^2 = 2a^2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$.
Извлекая квадратный корень, получаем: $d_1 = 2a\cos(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь у нас есть два выражения для $d_1$. Приравняем их, чтобы найти сторону ромба $a$:
$d \cos\beta = 2a\cos(\frac{\alpha}{2})$
$a = \frac{d \cos\beta}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Подставим найденные выражения для $a$ и $h$ в формулу площади боковой поверхности $S_{бок} = 4ah$:
$S_{бок} = 4 \cdot \left( \frac{d \cos\beta}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} \right) \cdot (d \sin\beta) = \frac{4d^2 \sin\beta \cos\beta}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2d^2 \sin\beta \cos\beta}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Применив формулу синуса двойного угла $2\sin\beta \cos\beta = \sin(2\beta)$, получим окончательное выражение:
$S_{бок} = \frac{d^2 \sin(2\beta)}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $S_{бок} = \frac{d^2 \sin(2\beta)}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.