Номер 4, страница 99 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Точки $M$ и $N$ принадлежат соответственно граням $SAB$ и $SBC$ пирамиды $SABCD$ (рис. 105). Постройте точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $SAC$.

Рис. 105

Для построения точки пересечения прямой $MN$ с плоскостью $SAC$ воспользуемся методом вспомогательной плоскости. В качестве такой плоскости выберем плоскость, проходящую через точки $B$, $M$ и $N$, и обозначим ее $(BMN)$. Искомая точка пересечения $P$ является общей точкой для прямой $MN$ и плоскости $(SAC)$. Так как прямая $MN$ по построению лежит в плоскости $(BMN)$, то искомая точка $P$ должна принадлежать линии пересечения плоскостей $(BMN)$ и $(SAC)$.

Чтобы найти эту линию пересечения, найдем две общие точки для плоскостей $(BMN)$ и $(SAC)$.

1. Точка $M$ лежит в грани $(SAB)$, следовательно, вся прямая $BM$ лежит в плоскости $(SAB)$. Прямая $SA$ также лежит в этой плоскости. Найдем точку пересечения прямых $BM$ и $SA$. Обозначим эту точку $M_1$. Так как точка $M_1$ лежит на прямой $SA$, она принадлежит плоскости $(SAC)$. Так как точка $M_1$ лежит на прямой $BM$, она принадлежит плоскости $(BMN)$. Следовательно, $M_1$ — одна из точек на линии пересечения плоскостей $(SAC)$ и $(BMN)$.

2. Аналогично, точка $N$ лежит в грани $(SBC)$, следовательно, вся прямая $BN$ лежит в плоскости $(SBC)$. Прямая $SC$ также лежит в этой плоскости. Найдем точку пересечения прямых $BN$ и $SC$. Обозначим эту точку $N_1$. Так как точка $N_1$ лежит на прямой $SC$, она принадлежит плоскости $(SAC)$. Так как точка $N_1$ лежит на прямой $BN$, она принадлежит плоскости $(BMN)$. Следовательно, $N_1$ — вторая точка на линии пересечения этих плоскостей.

Таким образом, прямая $M_1N_1$ является линией пересечения плоскости $(SAC)$ и вспомогательной плоскости $(BMN)$.

Искомая точка $P$ должна принадлежать одновременно прямой $MN$ и плоскости $(SAC)$. Мы установили, что она также должна лежать на прямой $M_1N_1$. Прямые $MN$ и $M_1N_1$ обе лежат в одной плоскости $(BMN)$, поэтому мы можем найти их точку пересечения (в предположении, что они не параллельны). Эта точка и будет искомой точкой $P$.

Итак, последовательность построения:
1) Строим прямую $BM$ и находим ее точку пересечения $M_1$ с прямой $SA$.
2) Строим прямую $BN$ и находим ее точку пересечения $N_1$ с прямой $SC$.
3) Проводим прямую через точки $M_1$ и $N_1$.
4) Проводим прямую через точки $M$ и $N$.
5) Точка пересечения $P$ прямых $MN$ и $M_1N_1$ является искомой точкой пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(SAC)$.

Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения прямых $MN$ и $M_1N_1$, где $M_1 = BM \cap SA$ и $N_1 = BN \cap SC$.