Номер 2, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Плоскость $\gamma$ пересекает стороны $DE$ и $DF$ треугольника $DEF$ в точках $B$ и $C$ соответственно и параллельна стороне $EF$, $CD : CF = 3 : 7$, $BC = 9$ см. Найдите сторону $EF$ треугольника.

По условию задачи, плоскость $\gamma$ пересекает стороны $DE$ и $DF$ треугольника $DEF$ в точках $B$ и $C$ соответственно. Также известно, что плоскость $\gamma$ параллельна стороне $EF$.

Так как плоскость $\gamma$ параллельна прямой $EF$ (которая лежит в плоскости треугольника $DEF$) и пересекает плоскость треугольника по прямой $BC$, то по свойству параллельных плоскостей и прямых, прямая $BC$ параллельна прямой $EF$ ($BC \parallel EF$).

Рассмотрим два треугольника: $\triangle DBC$ и $\triangle DEF$.

1. Угол $\angle D$ является общим для обоих треугольников.

2. Углы $\angle DBC$ и $\angle DEF$ являются соответственными при параллельных прямых $BC$ и $EF$ и секущей $DE$, следовательно, они равны: $\angle DBC = \angle DEF$.

Из этого следует, что треугольник $DBC$ подобен треугольнику $DEF$ по первому признаку подобия (по двум равным углам): $\triangle DBC \sim \triangle DEF$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{DC}{DF} = \frac{DB}{DE} = \frac{BC}{EF}$

По условию дано отношение $CD : CF = 3 : 7$. Точка $C$ лежит на стороне $DF$, поэтому сторона $DF$ состоит из двух отрезков: $DC$ и $CF$. Следовательно, $DF = DC + CF$.

Пусть $DC = 3x$, тогда $CF = 7x$ для некоторого коэффициента пропорциональности $x > 0$.

Тогда длина стороны $DF$ равна:

$DF = 3x + 7x = 10x$

Теперь найдем отношение сторон $DC$ и $DF$:

$\frac{DC}{DF} = \frac{3x}{10x} = \frac{3}{10}$

Теперь мы можем использовать это отношение в пропорции подобия, подставив известные значения ($BC = 9$ см):

$\frac{DC}{DF} = \frac{BC}{EF}$

$\frac{3}{10} = \frac{9}{EF}$

Выразим $EF$ из этой пропорции, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$3 \cdot EF = 10 \cdot 9$

$3 \cdot EF = 90$

$EF = \frac{90}{3}$

$EF = 30$ см.

Ответ: 30 см.