Номер 2, страница 101 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Через вершину $B$ правильного треугольника $ABC$ со стороной $6$ см проведена прямая $MB$, перпендикулярная плоскости треугольника. Расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ равно $2\sqrt{13}$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$.

По условию задачи, прямая $MB$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$. Расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ по определению равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $MB$.

Расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ – это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $AC$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $K$ на прямой $AC$. Тогда $MK \perp AC$ и, по условию, длина этого отрезка $MK = 2\sqrt{13}$ см.

Рассмотрим отрезки $MB$, $MK$ и $BK$.

• $MB$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$.
• $MK$ — наклонная, проведенная из точки $M$ к прямой $AC$ в плоскости $(ABC)$.
• $BK$ — проекция наклонной $MK$ на плоскость $(ABC)$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($MK$) перпендикулярна прямой на плоскости ($AC$), то и ее проекция ($BK$) перпендикулярна этой же прямой. Таким образом, $BK \perp AC$.

В правильном (равностороннем) треугольнике $ABC$ отрезок $BK$ является высотой, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC$. Длину высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае сторона треугольника $a = 6$ см. Найдем длину высоты $BK$:
$BK = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Так как прямая $MB$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. Значит, $MB \perp BK$. Следовательно, треугольник $MBK$ является прямоугольным с прямым углом $\angle MBK = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $MBK$ катетами являются $MB$ и $BK$, а гипотенузой — $MK$. По теореме Пифагора: $MK^2 = MB^2 + BK^2$

Выразим из этой формулы искомую длину $MB$: $MB^2 = MK^2 - BK^2$

Подставим известные значения $MK = 2\sqrt{13}$ см и $BK = 3\sqrt{3}$ см: $MB^2 = (2\sqrt{13})^2 - (3\sqrt{3})^2 = (4 \cdot 13) - (9 \cdot 3) = 52 - 27 = 25$

$MB = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.