Номер 2, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Точка C принадлежит одной из граней двугранного угла и удалена от его ребра на 14 см. Найдите расстояние от точки C до другой грани двугранного угла, если величина этого угла равна 30°.

Пусть данный двугранный угол образован двумя полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$ с общим ребром $a$.

По условию, точка $C$ принадлежит одной из граней, пусть это будет грань $\alpha$. Расстояние от точки $C$ до ребра $a$ равно 14 см. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Проведем перпендикуляр $CA$ из точки $C$ на ребро $a$ (точка $A$ лежит на ребре $a$). Таким образом, по определению, $CA \perp a$ и длина отрезка $CA = 14$ см.

Требуется найти расстояние от точки $C$ до другой грани, то есть до плоскости $\beta$. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Проведем перпендикуляр $CB$ из точки $C$ на плоскость $\beta$ (точка $B$ лежит в плоскости $\beta$). Искомое расстояние — это длина отрезка $CB$.

Рассмотрим отрезки $CA$, $CB$ и $AB$. Отрезок $CA$ является наклонной к плоскости $\beta$, $CB$ — перпендикуляром к плоскости $\beta$, а $AB$ — проекцией наклонной $CA$ на плоскость $\beta$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($CA$) перпендикулярна прямой ($a$), лежащей в плоскости проекции ($\beta$), то и ее проекция ($AB$) перпендикулярна этой прямой. Так как по построению $CA \perp a$, то и $AB \perp a$.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Линейный угол образуется двумя перпендикулярами к ребру, проведенными в гранях из одной точки на ребре. В нашей конструкции отрезки $CA$ (в грани $\alpha$) и $AB$ (в грани $\beta$) оба перпендикулярны ребру $a$ в точке $A$. Следовательно, угол $\angle CAB$ и есть линейный угол данного двугранного угла. По условию, его величина равна $30^\circ$, то есть $\angle CAB = 30^\circ$.

По построению $CB$ является перпендикуляром к плоскости $\beta$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $\beta$ и проходит через точку $B$ (основание перпендикуляра), значит, $CB \perp AB$. Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle CBA = 90^\circ$).

В этом прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ нам известны: гипотенуза $AC = 14$ см и острый угол $\angle CAB = 30^\circ$. Искомый отрезок $CB$ является катетом, противолежащим этому углу.

Для нахождения катета воспользуемся определением синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle CAB) = \frac{CB}{AC}$
Выразим из формулы искомый катет $CB$:
$CB = AC \cdot \sin(\angle CAB)$
Подставим числовые значения:
$CB = 14 \cdot \sin(30^\circ) = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7$ см.

Следовательно, расстояние от точки $C$ до другой грани двугранного угла составляет 7 см.

Ответ: 7 см.