Номер 3, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Угол между плоскостями треугольников $DCF$ и $DEF$ равен $45^\circ$, $DE = EF = 9\sqrt{2}$ см, $DC = CF = 15$ см, $DF = 24$ см. Найдите отрезок $CE$.

Плоскости треугольников $DCF$ и $DEF$ пересекаются по прямой $DF$. Угол между этими плоскостями — это двугранный угол, образованный полуплоскостями, в которых лежат эти треугольники.

1. Рассмотрим $\triangle DCF$. По условию $DC = CF = 15$ см, следовательно, треугольник является равнобедренным с основанием $DF = 24$ см. Проведем высоту $CH$ к основанию $DF$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Значит, точка $H$ — это середина отрезка $DF$.

$DH = HF = \frac{DF}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Из прямоугольного треугольника $DCH$ по теореме Пифагора найдем длину высоты $CH$:

$CH^2 = DC^2 - DH^2$

$CH^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$

$CH = \sqrt{81} = 9$ см.

2. Рассмотрим $\triangle DEF$. По условию $DE = EF = 9\sqrt{2}$ см, следовательно, этот треугольник также является равнобедренным с основанием $DF = 24$ см. Проведем высоту $EH$ к основанию $DF$. Так как треугольник равнобедренный, высота $EH$ является и медианой, поэтому она также проведена к середине основания $DF$, то есть к той же точке $H$.

Из прямоугольного треугольника $DEH$ по теореме Пифагора найдем длину высоты $EH$:

$EH^2 = DE^2 - DH^2$

$EH^2 = (9\sqrt{2})^2 - 12^2 = 81 \cdot 2 - 144 = 162 - 144 = 18$

$EH = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.

3. По определению, линейным углом двугранного угла является угол между двумя лучами, проведенными в его гранях перпендикулярно ребру из одной точки. В нашем случае, $CH \perp DF$ и $EH \perp DF$. Следовательно, $\angle CHE$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(DCF)$ и $(DEF)$. По условию, $\angle CHE = 45^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $CHE$. Мы знаем длины двух его сторон ($CH=9$ см и $EH=3\sqrt{2}$ см) и угол между ними ($\angle CHE = 45^\circ$). Чтобы найти длину третьей стороны $CE$, воспользуемся теоремой косинусов:

$CE^2 = CH^2 + EH^2 - 2 \cdot CH \cdot EH \cdot \cos(\angle CHE)$

Подставим известные значения:

$CE^2 = 9^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 9 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$

$CE^2 = 81 + 18 - 54\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$CE^2 = 99 - \frac{54 \cdot 2}{2}$

$CE^2 = 99 - 54$

$CE^2 = 45$

$CE = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Ответ: $3\sqrt{5}$ см.