Номер 3, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Параллелограмм $ABCD$ является изображением квадрата $A_1B_1C_1D_1$ (рис. 108). Постройте изображение радиуса вписанной окружности квадрата, проведённого в точку касания этой окружности со стороной $A_1D_1$.

Рис. 108

Пусть параллелограмм $ABCD$ является изображением (параллельной проекцией) квадрата $A_1B_1C_1D_1$. Требуется построить изображение радиуса вписанной в квадрат окружности, который проведён к точке касания этой окружности со стороной $A_1D_1$.

Обоснование построения

Построение основывается на свойствах параллельного проектирования и геометрических свойствах квадрата.
1. Центром вписанной в квадрат окружности является точка пересечения его диагоналей. Обозначим этот центр $O_1$. При параллельном проектировании сохраняется свойство пересечения прямых, а центр симметрии фигуры переходит в центр симметрии её изображения. Поэтому изображение центра квадрата $O_1$ будет совпадать с центром параллелограмма $ABCD$ — точкой $O$ пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.
2. Вписанная окружность касается сторон квадрата в их серединах. Следовательно, точка касания окружности со стороной $A_1D_1$, которую мы обозначим $M_1$, является серединой этой стороны. При параллельном проектировании середина отрезка проецируется в середину его изображения. Таким образом, изображением точки касания $M_1$ будет точка $M$ — середина стороны $AD$ параллелограмма.
3. Искомый радиус в исходной фигуре (квадрате) — это отрезок $O_1M_1$. Его изображением будет отрезок $OM$, соединяющий изображения его концов.

Порядок построения

На основании вышеизложенного, для построения искомого изображения радиуса необходимо выполнить следующие шаги:
1. В параллелограмме $ABCD$ провести диагонали $AC$ и $BD$.
2. Отметить точку их пересечения $O$.
3. Найти середину стороны $AD$ и отметить её как точку $M$.
4. Соединить точки $O$ и $M$ отрезком.


Отрезок $OM$ на рисунке является искомым изображением радиуса.

Ответ: Искомое изображение радиуса — это отрезок $OM$, где $O$ – точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$, а $M$ – середина стороны $AD$.