Номер 1, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2

Тема. Параллельность в пространстве

1. Точки $M, N, K$ и $P$ — середины рёбер $AC, AD, BD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$ соответственно, $AB = 30$ см, $CD = 26$ см (рис. 107). Докажите, что точки $M, N, K$ и $P$ являются вершинами параллелограмма, и вычислите периметр этого параллелограмма.

Рис. 107

Докажите, что точки M, N, K и P являются вершинами параллелограмма

1. Рассмотрим треугольник $ADC$. По условию, точка $N$ является серединой ребра $AD$, а точка $M$ – серединой ребра $AC$. Следовательно, отрезок $NM$ является средней линией треугольника $ADC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. Таким образом:
$NM \parallel DC$ и $NM = \frac{1}{2} DC$.

2. Рассмотрим треугольник $BDC$. По условию, точка $K$ является серединой ребра $BD$, а точка $P$ – серединой ребра $BC$. Следовательно, отрезок $KP$ является средней линией треугольника $BDC$. По свойству средней линии:
$KP \parallel DC$ и $KP = \frac{1}{2} DC$.

3. Из результатов пунктов 1 и 2 следует, что $NM \parallel KP$ (так как обе прямые параллельны одной и той же прямой $DC$) и $NM = KP$ (так как длины обоих отрезков равны $\frac{1}{2} DC$).

4. Поскольку в четырехугольнике $MNKP$ две противоположные стороны ($NM$ и $KP$) равны и параллельны, то по признаку параллелограмма этот четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано.

Вычислите периметр этого параллелограмма

Периметр параллелограмма $MNKP$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ – длины смежных сторон. В нашем случае $P_{MNKP} = 2(NM + NK)$.

1. Найдем длину стороны $NM$. По условию дано, что $CD = 26$ см. Из доказательства выше известно, что $NM = \frac{1}{2} DC$.
$NM = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13$ см.

2. Найдем длину стороны $NK$. Рассмотрим треугольник $ADB$. По условию, $N$ – середина $AD$ и $K$ – середина $BD$. Следовательно, $NK$ является средней линией треугольника $ADB$. По свойству средней линии, $NK$ параллельна $AB$ и равна ее половине. По условию дано, что $AB = 30$ см.
$NK = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$ см.

3. Теперь вычислим периметр параллелограмма $MNKP$:
$P_{MNKP} = 2(NM + NK) = 2(13 + 15) = 2 \cdot 28 = 56$ см.

Ответ: 56 см.