Номер 2, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Точка A находится на расстоянии 3 см от плоскости $\alpha$. Наклонные $AE$ и $AF$ образуют с плоскостью $\alpha$ углы $60^\circ$ и $30^\circ$ соответственно. Найдите расстояние между точками $E$ и $F$, если угол между проекциями наклонных на плоскость $\alpha$ равен $120^\circ$.

Пусть $AH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда $H$ — основание перпендикуляра, а длина $AH$ является расстоянием от точки $A$ до плоскости $\alpha$, то есть $AH = 3$ см.

Наклонные $AE$ и $AF$ имеют свои проекции на плоскость $\alpha$ — это отрезки $HE$ и $HF$ соответственно. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и ее проекцией на эту плоскость. Следовательно, $\angle AEH = 60^\circ$ и $\angle AFH = 30^\circ$.

Так как $AH \perp \alpha$, то треугольники $\triangle AHE$ и $\triangle AHF$ являются прямоугольными (с прямым углом при вершине $H$).

1. Найдем длины проекций $HE$ и $HF$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle AHE$ найдем длину проекции $HE$ (прилежащий катет к углу $AHE$):

$HE = AH \cdot \cot(\angle AEH) = 3 \cdot \cot(60^\circ) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Из прямоугольного треугольника $\triangle AHF$ найдем длину проекции $HF$:

$HF = AH \cdot \cot(\angle AFH) = 3 \cdot \cot(30^\circ) = 3 \cdot \sqrt{3}$ см.

2. Найдем расстояние между точками $E$ и $F$.

Точки $E$, $H$ и $F$ лежат в плоскости $\alpha$. Расстояние между точками $E$ и $F$ — это длина стороны $EF$ в треугольнике $\triangle EHF$. Мы знаем длины двух сторон этого треугольника ($HE = \sqrt{3}$ см, $HF = 3\sqrt{3}$ см) и угол между ними, который по условию равен $\angle EHF = 120^\circ$. Для нахождения длины третьей стороны воспользуемся теоремой косинусов:

$EF^2 = HE^2 + HF^2 - 2 \cdot HE \cdot HF \cdot \cos(\angle EHF)$

Подставим известные значения:

$EF^2 = (\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(120^\circ)$

$EF^2 = 3 + (9 \cdot 3) - 2 \cdot (3 \cdot 3) \cdot (-\frac{1}{2})$

$EF^2 = 3 + 27 - 18 \cdot (-\frac{1}{2})$

$EF^2 = 30 + 9 = 39$

$EF = \sqrt{39}$ см.

Ответ: $\sqrt{39}$ см.