Номер 2, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $4\sqrt{3}$ см, а высота пирамиды $-$ $2\sqrt{5}$ см. Найдите:

1) боковое ребро пирамиды;

2) площадь боковой поверхности пирамиды.

Дана правильная треугольная пирамида.
Сторона основания (правильного треугольника) $a = 4\sqrt{3}$ см.
Высота пирамиды $H = 2\sqrt{5}$ см.

1) боковое ребро пирамиды;

Боковое ребро $l$ можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус $R$ описанной около основания окружности.
Сначала найдем радиус $R$ описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$ см.
Теперь по теореме Пифагора найдем боковое ребро $l$:
$l^2 = H^2 + R^2$
$l = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 + 4^2} = \sqrt{4 \cdot 5 + 16} = \sqrt{20 + 16} = \sqrt{36} = 6$ см.
Ответ: 6 см.

2) площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания $P$ на апофему $h_s$ (высоту боковой грани).
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_s$.
Периметр основания $P = 3a = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см.
Апофему $h_s$ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус $r$ вписанной в основание окружности.
Найдем радиус $r$ вписанной окружности для правильного треугольника:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2$ см.
Теперь по теореме Пифагора найдем апофему $h_s$:
$h_s^2 = H^2 + r^2$
$h_s = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 + 2^2} = \sqrt{20 + 4} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$ см.
Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (12\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{6}) = 12 \sqrt{3 \cdot 6} = 12\sqrt{18} = 12\sqrt{9 \cdot 2} = 12 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$ см².
Ответ: $36\sqrt{2}$ см².