Номер 4, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны. Прямая $a$ — линия их пересечения. В плоскости $\alpha$ выбрали точку $A$, а в плоскости $\beta$ — точку $B$ такие, что расстояния от них до прямой $a$ равны 4 см и 5 см соответственно. Найдите расстояние между точками $A$ и $B$, если расстояние между их проекциями на прямую $a$ равно $2\sqrt{2}$ см.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — данные плоскости, а прямая $a$ — линия их пересечения. Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ — в плоскости $\beta$.

Обозначим проекцию точки $A$ на прямую $a$ как $A_p$, а проекцию точки $B$ на прямую $a$ как $B_p$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Таким образом, отрезок $AA_p$ перпендикулярен прямой $a$, и его длина по условию равна 4 см. Аналогично, отрезок $BB_p$ перпендикулярен прямой $a$, и его длина равна 5 см.

$AA_p \perp a$, $AA_p = 4$ см.
$BB_p \perp a$, $BB_p = 5$ см.

Расстояние между проекциями точек $A$ и $B$ на прямую $a$ — это длина отрезка $A_pB_p$. По условию, $A_pB_p = 2\sqrt{2}$ см.

Для нахождения расстояния между точками $A$ и $B$ (длины отрезка $AB$) воспользуемся теоремой Пифагора в пространстве. Расстояние $AB$ можно рассматривать как пространственную диагональ прямоугольного параллелепипеда. Измерениями этого параллелепипеда будут служить проекции отрезка $AB$ на три взаимно перпендикулярные оси.

Выберем эти оси следующим образом:
1. Первая ось совпадает с прямой $a$.
2. Вторая ось лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна прямой $a$. Прямая $AA_p$ параллельна этой оси.
3. Третья ось лежит в плоскости $\beta$ и перпендикулярна прямой $a$. Прямая $BB_p$ параллельна этой оси.

Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, а вторая и третья оси лежат в этих плоскостях и обе перпендикулярны линии их пересечения (прямой $a$), то эти три оси взаимно перпендикулярны.

Длины проекций отрезка $AB$ на эти оси равны:
- на прямую $a$: $A_pB_p = 2\sqrt{2}$ см;
- на ось в плоскости $\alpha$: $AA_p = 4$ см;
- на ось в плоскости $\beta$: $BB_p = 5$ см.

Квадрат расстояния между точками $A$ и $B$ равен сумме квадратов длин этих трёх проекций:
$AB^2 = (A_pB_p)^2 + (AA_p)^2 + (BB_p)^2$

Подставим известные значения в формулу:
$AB^2 = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 + 5^2$
$AB^2 = (4 \cdot 2) + 16 + 25$
$AB^2 = 8 + 16 + 25$
$AB^2 = 49$

Отсюда находим длину отрезка $AB$:
$AB = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.