Номер 3, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Через вершину $B$ треугольника $ABC$, в котором $AB = BC = 6$ см, $AC = 8$ см, проведён перпендикуляр $MB$ к плоскости треугольника. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $AMC$, если $MB = 2\sqrt{15}$ см.

Угол между плоскостями (ABC) и (AMC) — это двугранный угол, который измеряется величиной своего линейного угла. Линия пересечения данных плоскостей — это прямая AC. Для нахождения линейного угла необходимо построить перпендикуляры к этой линии в каждой из плоскостей, проведенные из одной точки.

В плоскости треугольника ABC проведем высоту BH к стороне AC. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC (поскольку $AB = BC = 6$ см), то высота BH также является медианой. Следовательно, точка H — середина отрезка AC.

Найдем длину отрезка AH:
$AH = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (угол $\angle AHB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину высоты BH:
$BH^2 = AB^2 - AH^2$
$BH^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20$
$BH = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

По условию, отрезок MB перпендикулярен плоскости (ABC). BH — это проекция наклонной MH на плоскость (ABC). Так как проекция BH перпендикулярна прямой AC, лежащей в плоскости, то, по теореме о трех перпендикулярах, наклонная MH также перпендикулярна прямой AC ($MH \perp AC$).

Таким образом, угол $\angle MHB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями (ABC) и (AMC), так как $BH \perp AC$ и $MH \perp AC$.

Рассмотрим треугольник MBH. Так как $MB \perp (ABC)$, а прямая BH лежит в этой плоскости, то $MB \perp BH$. Следовательно, треугольник MBH — прямоугольный с прямым углом $\angle MBH = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике MBH известны длины двух катетов: $MB = 2\sqrt{15}$ см и $BH = 2\sqrt{5}$ см. Найдем тангенс угла $\angle MHB$:
$\tan(\angle MHB) = \frac{MB}{BH} = \frac{2\sqrt{15}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{15}{5}} = \sqrt{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, искомый угол между плоскостями равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.