Номер 205, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

205. Боковые грани $MBA$ и $MBC$ пирамиды $MABC$ перпендикулярны плоскости основания, а угол между плоскостями $AMC$ и $ABC$ равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle ABC = 60^\circ$, $AB = 8$ см.

Поскольку боковые грани $MBA$ и $MBC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$, то их линия пересечения, ребро $MB$, также перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, $MB$ является высотой пирамиды, то есть $MB \perp (ABC)$. Из этого следует, что $MB \perp AB$ и $MB \perp BC$. Таким образом, треугольники $MBA$ и $MBC$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $B$.

Рассмотрим основание пирамиды — прямоугольный треугольник $ABC$ ($∠ACB = 90°$). Из условия известны гипотенуза $AB = 8$ см и угол $∠ABC = 60°$. Найдем длины катетов:
$BC = AB \cdot \cos(∠ABC) = 8 \cdot \cos(60°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.
$AC = AB \cdot \sin(∠ABC) = 8 \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Угол между плоскостями $AMC$ и $ABC$ — это двугранный угол при ребре $AC$. Для нахождения его линейного угла построим перпендикуляры к ребру $AC$ в каждой из плоскостей, исходящие из одной точки.
В плоскости основания $ABC$ катет $BC$ перпендикулярен катету $AC$, так как $∠ACB = 90°$.
Поскольку $MB$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, $MC$ — наклонная, а $BC$ — ее проекция на эту плоскость. Так как проекция $BC$ перпендикулярна прямой $AC$, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $MC$ перпендикулярна $AC$ ($MC \perp AC$).
Следовательно, линейным углом двугранного угла между плоскостями $AMC$ и $ABC$ является угол $∠MCB$. По условию задачи, $∠MCB = 45°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MBC$ ($∠MBC = 90°$). Мы знаем, что $BC = 4$ см и $∠MCB = 45°$. Это означает, что треугольник $MBC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его катеты равны:
$MB = BC = 4$ см.

Теперь мы можем найти площади боковых граней. Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей граней $MBA$, $MBC$ и $AMC$.
1. Площадь грани $MBA$ (прямоугольный треугольник, $∠MBA = 90°$):
$S_{MBA} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$ см².
2. Площадь грани $MBC$ (прямоугольный треугольник, $∠MBC = 90°$):
$S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ см².
3. Площадь грани $AMC$. Мы доказали, что $MC \perp AC$, следовательно, треугольник $AMC$ — прямоугольный ($∠MCA = 90°$). Найдем длину гипотенузы $MC$ из прямоугольного треугольника $MBC$:
$MC^2 = MB^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$.
$MC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.
Теперь найдем площадь $S_{AMC}$:
$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{6} = 8\sqrt{6}$ см².

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей этих трех граней:
$S_{бок} = S_{MBA} + S_{MBC} + S_{AMC} = 16 + 8 + 8\sqrt{6} = 24 + 8\sqrt{6} = 8(3 + \sqrt{6})$ см².

Ответ: $8(3 + \sqrt{6})$ см².