Номер 198, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Основанием пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$, $O$ — точка пересечения его диагоналей, $\angle ASO = \angle CSO$, $\angle BSO = \angle DSO$. Докажите, что отрезок $SO$ — высота пирамиды.

Для того чтобы доказать, что отрезок $SO$ является высотой пирамиды, необходимо доказать, что он перпендикулярен плоскости основания $ABCD$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых в плоскости основания $(ABC)$ рассмотрим диагонали параллелограмма $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$. Таким образом, задача сводится к доказательству перпендикулярности $SO$ к $AC$ и $SO$ к $BD$.

1. Докажем, что $SO \perp AC$.Рассмотрим треугольник $\triangle SAC$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его диагонали точкой пересечения $O$ делятся пополам, следовательно, $AO = CO$. Таким образом, $SO$ — медиана в треугольнике $\triangle SAC$.Рассмотрим треугольники $\triangle ASO$ и $\triangle CSO$.По теореме синусов для $\triangle ASO$:$\frac{SA}{\sin(\angle AOS)} = \frac{AO}{\sin(\angle ASO)}$По теореме синусов для $\triangle CSO$:$\frac{SC}{\sin(\angle COS)} = \frac{CO}{\sin(\angle CSO)}$

Из условий задачи известно, что $\angle ASO = \angle CSO$, а из свойства параллелограмма $AO = CO$. Следовательно, правые части равенств равны:$\frac{AO}{\sin(\angle ASO)} = \frac{CO}{\sin(\angle CSO)}$Значит, равны и левые части:$\frac{SA}{\sin(\angle AOS)} = \frac{SC}{\sin(\angle COS)}$

Углы $\angle AOS$ и $\angle COS$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Синусы смежных углов равны: $\sin(\angle AOS) = \sin(180^\circ - \angle COS) = \sin(\angle COS)$.Учитывая это, из равенства $\frac{SA}{\sin(\angle AOS)} = \frac{SC}{\sin(\angle COS)}$ следует, что $SA = SC$.

Так как $SA = SC$, треугольник $\triangle SAC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Поскольку $SO$ — медиана, то $SO$ является и высотой, то есть $SO \perp AC$.

2. Докажем, что $SO \perp BD$.Рассуждения аналогичны пункту 1. Рассмотрим треугольник $\triangle SBD$. Так как $O$ — середина диагонали $BD$, отрезок $SO$ является медианой этого треугольника.Применяя теорему синусов к треугольникам $\triangle BSO$ и $\triangle DSO$, и используя условие $\angle BSO = \angle DSO$ и равенство $BO = DO$, приходим к выводу, что $SB = SD$.Следовательно, треугольник $\triangle SBD$ — равнобедренный с основанием $BD$. Его медиана $SO$, проведенная к основанию, также является и высотой. Отсюда следует, что $SO \perp BD$.

Итак, мы доказали, что отрезок $SO$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым $AC$ и $BD$ в плоскости основания. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $SO$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$. По определению, отрезок $SO$ является высотой пирамиды $SABCD$.

Ответ: Утверждение доказано, так как было показано, что отрезок $SO$ перпендикулярен двум пересекающимся диагоналям основания $AC$ и $BD$, и, следовательно, перпендикулярен всей плоскости основания.