Номер 192, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

192. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а высота — $2\sqrt{6}$ см. Найдите:

1) угол наклона бокового ребра к плоскости основания;

2) угол наклона боковой грани к плоскости основания;

3) площадь полной поверхности пирамиды.

1) угол наклона бокового ребра к плоскости основания

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида с вершиной $S$ и центром основания $O$. Высота пирамиды $SO = H = 2\sqrt{6}$ см, а сторона основания $a = 4$ см.

Угол наклона бокового ребра (например, $SA$) к плоскости основания – это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. Проекцией ребра $SA$ на плоскость основания является отрезок $OA$. Таким образом, искомый угол – это $\angle SAO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$). Катет $SO$ является высотой пирамиды, $SO = 2\sqrt{6}$ см. Катет $OA$ является радиусом описанной около основания окружности. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне, поэтому $OA = a = 4$ см.

Для нахождения угла $\angle SAO$ воспользуемся тангенсом, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\angle SAO) = \frac{SO}{OA} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Следовательно, угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен арктангенсу этого значения.

Ответ: $\arctan\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$.

2) угол наклона боковой грани к плоскости основания

Угол наклона боковой грани (например, $SAB$) к плоскости основания – это двугранный угол между этими плоскостями. Он измеряется величиной своего линейного угла. Чтобы построить линейный угол, проведем апофему боковой грани $SK$ к середине стороны основания $AB$ ($SK \perp AB$) и апофему основания $OK$ ($OK \perp AB$). Искомый угол – это $\angle SKO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SKO$ (угол $\angle SOK = 90^\circ$). Катет $SO$ – высота пирамиды, $SO = 2\sqrt{6}$ см. Катет $OK$ – апофема правильного шестиугольника (или радиус вписанной в него окружности). Длина апофемы правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значение стороны $a=4$ см:

$OK = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем тангенс угла $\angle SKO$ в треугольнике $\triangle SKO$:

$\tan(\angle SKO) = \frac{SO}{OK} = \frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$.

Следовательно, угол наклона боковой грани к плоскости основания равен $\arctan(\sqrt{2})$.

Ответ: $\arctan(\sqrt{2})$.

3) площадь полной поверхности пирамиды

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Сначала найдем площадь основания. Основание – правильный шестиугольник со стороной $a = 4$ см. Его площадь можно найти как площадь шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{16\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см².

Далее найдем площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из шести одинаковых равнобедренных треугольников. Площадь боковой поверхности можно найти по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где $P$ – периметр основания, а $h_a$ – апофема пирамиды (высота боковой грани, отрезок $SK$).

Периметр основания $P = 6 \cdot a = 6 \cdot 4 = 24$ см.

Апофему $h_a = SK$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle SKO$ по теореме Пифагора:

$SK^2 = SO^2 + OK^2 = (2\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{3})^2 = 24 + 12 = 36$.

$SK = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 6 = 12 \cdot 6 = 72$ см².

Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 24\sqrt{3} + 72$ см².

Ответ: $72 + 24\sqrt{3}$ см².