Номер 189, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

189. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 10 см, а высота — 6 см.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно найти по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h_a$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема пирамиды (высота боковой грани). Либо как сумму площадей шести одинаковых боковых граней (треугольников): $S_{бок} = 6 \cdot S_{грани}$.

Дано: правильная шестиугольная пирамида, боковое ребро $l = 10$ см, высота пирамиды $H = 6$ см.

1. Найдем сторону основания пирамиды ($a$).
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ (гипотенуза) и радиусом $R$ описанной около основания окружности (катет). В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне, то есть $R = a$.
По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + R^2$.
$10^2 = 6^2 + a^2$
$100 = 36 + a^2$
$a^2 = 100 - 36 = 64$
$a = \sqrt{64} = 8$ см.

2. Найдем апофему пирамиды ($h_a$).
Апофема — это высота боковой грани. Рассмотрим боковую грань, которая является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами $l=10$ см и основанием $a=8$ см. Апофема $h_a$ является высотой этого треугольника, проведенной к основанию.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $l$ (гипотенуза), апофемой $h_a$ (катет) и половиной стороны основания $\frac{a}{2}$ (катет).
По теореме Пифагора: $l^2 = h_a^2 + (\frac{a}{2})^2$.
$10^2 = h_a^2 + (\frac{8}{2})^2$
$100 = h_a^2 + 4^2$
$100 = h_a^2 + 16$
$h_a^2 = 100 - 16 = 84$
$h_a = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$).
Периметр основания (правильного шестиугольника) равен $P_{осн} = 6 \cdot a = 6 \cdot 8 = 48$ см.
Теперь найдем площадь боковой поверхности по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 2\sqrt{21} = 48\sqrt{21}$ см².

Ответ: $48\sqrt{21}$ см².